Exercice 2 — Des trapèzes de même aire

Sujet

1. Question préliminaire : Existe-t-il un couple d'entiers naturels \((m,p)\) tel que \(m^2-p^2=8\) ? En existe-t-il plusieurs ?

2. On considère les trapèzes rectangles ABCD de bases \([AB]\) et \([CD]\) tels que \(\widehat{ABC}=45°\), et les distances AB, AD et CD sont des nombres entiers, avec \(AD>2\). Soit M le point du segment \([AD]\) tel que \(AM=2\).

Trapèze rectangle ABCD, avec M sur AD et N sur BC, aire MNBA hachurée

Déterminer les distances AB, AD et CD de sorte que les aires des trapèzes MNBA et MNCD soient égales.

Indication du sujet : on pourra faire apparaître sur la figure des triangles isocèles.

Comme \(\widehat{ABC}=45°\), en abaissant la perpendiculaire depuis C sur (AB), on fait apparaître un triangle rectangle isocèle. Cela permet d'exprimer \(DC=AB-AD\) et \(MN=AB-2\) uniquement en fonction de AB et AD. L'égalité des aires des deux trapèzes se traduit alors par une équation reliant AB et AD, à combiner avec le résultat de la question préliminaire pour trouver les valeurs entières.

1. De \(m^2-p^2=8\), on tire \((m-p)(m+p)=8\), donc \(m^2=p^2+8\), ce qui impose \(p

Avec \(m=p+1\) : \((p+1)^2-p^2=2p+1=8\), impossible (2p+1 est impair, jamais égal à 8).

Avec \(m=p+2\) : \((p+2)^2-p^2=4p+4=8\), donc \(p=1\), \(m=3\).

2. Une étude de la figure (triangles rectangles isocèles, car \(\widehat{ABC}=45°\)) donne \(DC=AB-AD\) et \(MN=AB-2\).

L'égalité des aires des trapèzes MNBA et MNCD conduit à l'équation :

\[(AB-4)^2-(AD-AB)^2=8\]

En reconnaissant la forme \(m^2-p^2=8\) de la question 1 avec \(m=AB-4\) et \(p=AD-AB\)... en fait avec la solution \((m,p)=(3,1)\) de la question 1, on obtient \(AB=7\), \(AD=6\), \(DC=1\).