Olympiades · Académique Nantes · 2006 · Séries L, ES, STI, STG
Un pisciculteur propose un jeu à cinq de ses clients. Il les autorise à pêcher des truites autour de son étang pendant une heure, avec un règlement particulier :
À la fin, chacun rapporte ses poissons dans un panier et annonce son nombre de prises. Si le pisciculteur réussit, en vidant au moins deux paniers, à répartir leur contenu en cinq parts égales, alors les pêcheurs pourront emporter chacun une part ; sinon, le pisciculteur garde les paniers non vidés.
Les pêcheurs risquent-ils de rentrer chez eux bredouilles ?
Notons \(n_i\) le nombre de truites du panier \(i\) (\(i\in\{1,\ldots,5\}\)), avec \(n_i\) non multiple de 5. Considérons les sommes cumulées \(S_i=n_1+n_2+\cdots+n_i\), et \(r_i\) le reste de la division de \(S_i\) par 5, donc \(r_i\in\{0,1,2,3,4\}\).
Cas 1 : il existe \(i\) tel que \(r_i=0\). Alors \(S_i=n_1+\cdots+n_i\) est un multiple de 5. Le pisciculteur répartit le contenu de ces \(i\) paniers en cinq parts égales, et garde les \(5-i\) autres.
Cas 2 : pour tout \(i\), \(r_i\neq0\). Alors les 5 restes \(r_1,\ldots,r_5\) prennent leurs valeurs parmi seulement 4 possibilités \(\{1,2,3,4\}\). D'après le principe des tiroirs (5 objets, 4 tiroirs), au moins deux restes sont égaux : \(r_i=r_j\) avec \(i On a alors \(S_i=5q_i+r_i\) et \(S_j=5q_j+r_i\) (même reste), avec \(q_i Dans tous les cas, le pisciculteur peut réaliser le partage : les pêcheurs ne rentreront donc jamais bredouilles. Ce résultat est un cas particulier du théorème d'Erdős–Ginzburg–Ziv (1961), qui énonce que parmi \(2n-1\) entiers quelconques, on peut toujours en choisir \(n\) dont la somme est un multiple de \(n\) — ici avec \(n=5\), même en n'utilisant que 5 entiers consécutifs plutôt que 9, grâce à la contrainte supplémentaire qu'aucun \(n_i\) n'est déjà multiple de 5.