Sujet
Le plan, muni d'un repère orthonormal d'origine O (unité 1 cm), est quadrillé par les droites parallèles aux axes passant par tous les points à coordonnées entières. Sur ce quadrillage, on construit, en partant de O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Pour tout point M à coordonnées entières, on note \(l(M)\) la longueur de la portion de « spirale » qui va du point O jusqu'au point M.
- Soit A un point de l'axe des abscisses tel que \(OA=5\). Déterminer les valeurs possibles de \(l(A)\).
- Soit B le point de coordonnées \((2005;2006)\). Déterminer \(l(B)\).
- Déterminer les coordonnées du point C tel que \(l(C)=2006\).
- La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?
Mise en place. La spirale est une réunion de segments dont les sommets sont sur trois droites \(D_1:y=x-1\), \(D_2:y=-x\), \(D_3:y=x\). Notons \(A_n\) le point de \(D_1\) d'ordonnée \(-n\) : coordonnées \((1-n,-n)\) ; \(B_n\) sur \(D_2\) d'ordonnée \(-n\) : \((n,-n)\) ; \(C_n\) sur \(D_3\) d'ordonnée \(n\) : \((n,n)\) ; \(D_n\) sur \(D_2\) d'ordonnée \(n\) : \((-n,n)\). La spirale est la réunion, pour \(n\in\mathbb{N}^*\), des segments \([D_{n-1}A_n]\), \([A_nB_n]\), \([B_nC_n]\), \([C_nD_n]\), de longueurs respectives \(2n-1\), \(2n-1\), \(2n\), \(2n\).
On démontre par télescopage que \(l(A_n)=2(1+2+\cdots+(2n-2))+(2n-1)=(2n-2)(2n-1)+(2n-1)=(2n-1)^2\), puis \(l(C_n)=l(A_n)+(2n-1)+2n=4n^2=(2n)^2\).
1. Il existe deux points : \(A(5,0)\) et \(A'(-5,0)\).
\(A(5,0)\) est sur \([B_5C_5]\) (car \(B_5(5,-5)\), \(C_5(5,5)\)), avec \(AC_5=5\). Donc \(l(A)=l(C_5)-5=10^2-5=95\).
\(A'(-5,0)\) est sur \([D_5A_6]\) (car \(D_5(-5,5)\), \(A_6(-5,-6)\)), avec \(A'A_6=6\). Donc \(l(A')=l(A_6)-6=11^2-6=115\).
2. \(B(2005,2006)\) est sur \([C_{2006}D_{2006}]\) (car \(C_{2006}(2006,2006)\), \(D_{2006}(-2006,2006)\)), avec \(C_{2006}B=1\). Donc \(l(B)=l(C_{2006})+1=4012^2+1=16\,096\,145\).
3. La suite \(l(O)=0,\,l(A_1)=1,\,l(C_1)=4,\,l(A_2)=9,\,\ldots\) est la suite des carrés parfaits. On encadre 2006 : \(l(C_{22})=44^2=1936<2006<2025=45^2=l(A_{23})\). Comme \(C_{22}D_{22}=44\), \(l(D_{22})=1936+44=1980<2006\). Donc \(C\in[D_{22}A_{23}]\). Comme \(2006-1980=26\) : \(x_C=-22\) (comme \(D_{22}\) et \(A_{23}\)) et \(y_C=22-26=-4\). Donc \(C(-22,-4)\).
4. Soit \(D(p,q)\) un point à coordonnées entières, \(D\neq O\), et \(n=\max(|p|,|q|)\). Une étude par cas (selon que \(p=n\), \(p=-n\), \(q=n\) ou \(q=-n\)) montre que \(D\) se trouve toujours exactement sur l'un des quatre segments \([B_nC_n]\), \([D_nA_{n+1}]\), \([C_nD_n]\) ou \([A_nB_n]\) qui composent la spirale. La spirale passe donc bien par tous les points à coordonnées entières du plan.