Olympiades · Académique Nantes · 2006 · Séries S et SI
Le club de maths du lycée se réunit : Ludo, Claire, Marie, Jérôme et le prof Samuel.
Ludo lance le premier défi : « Est-il possible de construire un carré sachant que la différence entre la diagonale et le côté est 1 cm ? »
Question 1 : Jérôme prétend qu'il a trouvé tous les carrés satisfaisant à cette condition. Faire de même et le(s) construire à la règle et au compas en laissant apparents les traits de construction.
Claire lance un deuxième défi : « J'aimerais bien savoir s'il est possible de trouver des programmes de calcul permettant à coup sûr d'obtenir des nombres entiers qui seraient les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. » Ludo intervient : « En tout cas, moi je connais un tel triangle : celui qui a pour dimensions 3, 4 et 5. » Ludo : « Il suffit de multiplier 3, 4 et 5 par un même nombre entier non nul et on obtiendra les longueurs d'un triangle rectangle ! »
Question 2 : Ludo a-t-il raison ?
Samuel : « J'ai lu autrefois un livre qui évoquait cette question... à partir de deux nombres entiers \(a\) et \(b\), on pouvait construire 3 nombres qui convenaient. Avec 1 et 2 on trouve 3, 4 et 5, et avec 2 et 3, on trouve 5, 12 et 13. Il faut sans doute travailler avec les carrés des nombres. »
Question 3 : À partir de deux nombres entiers \(a\) et \(b\), trouver la méthode de Samuel et démontrer algébriquement qu'elle permet de répondre au problème. Utiliser cette méthode pour trouver 2 autres triangles rectangles en nombres.
Marie lance le troisième défi : « Peut-on trouver deux triangles rectangles dont les côtés sont des entiers et dont les aires sont égales ? »
Question 4 : Essayer de relever le défi de Marie.
Question 1. Si le côté vaut \(a\), la diagonale mesure \(a\sqrt2\). Donc \(a\sqrt2-a=a(\sqrt2-1)=1\), d'où \(a=\dfrac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1\) (après rationalisation : \(\dfrac{1}{\sqrt2-1}\times\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}=\sqrt2+1\)).
Question 2. Ludo a raison : \((3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le nouveau triangle est bien rectangle.
Question 3. On constate que \(1^2=1\), \(2^2=4\) : \(1+4=5\) et \(4-1=3\) (reste à trouver 4 à partir de 1 et 2 : le double produit \(2\times1\times2=4\)). De même avec \(2^2=4\), \(3^2=9\) : \(9+4=13\), \(9-4=5\), et \(2\times2\times3=12\).
Démonstration à partir de deux entiers \(a\) et \(b\) : les nombres obtenus sont \(a^2-b^2\), \(a^2+b^2\), \(2ab\). En développant, \((a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2\), donc ces 3 nombres forment un « triangle rectangle en nombres ».
Trois autres exemples : avec 3 et 4 : \((24,7,25)\) ; avec 4 et 5 : \((40,9,41)\) ; avec 5 et 6 : \((60,11,61)\).
Question 4. Un triangle \(T(2ab,\,a^2-b^2,\,a^2+b^2)\) a pour aire \(ab(a^2-b^2)\) (demi-produit des côtés de l'angle droit). On dresse un tableau :
| b | a | ab | \(a^2-b^2\) | Aire \(=ab(a^2-b^2)\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 3 | 3 | 8 | 24 |
| 1 | 4 | 4 | 15 | 60 |
| 1 | 5 | 5 | 24 | 120 |
| 1 | 6 | 6 | 35 | 210 |
| 1 | 7 | 7 | 48 | 336 |
| 2 | 3 | 6 | 5 | 30 |
| 2 | 4 | 8 | 12 | 96 |
| 2 | 5 | 10 | 21 | 210 |
Les couples \((a,b)=(6,1)\) et \((5,2)\) donnent la même aire, 210 : ils génèrent respectivement les triangles \(T(12,35,37)\) et \(T'(20,21,29)\).