Olympiades · Académique Nantes · 2006 · Séries L, ES, STI, STG
Fabrice et Loïc ont participé avec des amis, en juin 2005, à la fête du vélo sur la levée de la Loire. Le groupe est parti d'Angers et a parcouru à la vitesse de 18 km/h la première partie du trajet, qui représente les trois cinquièmes du trajet total.
Le groupe s'est ensuite scindé en deux : Loïc a pris la tête d'un groupe qui a parcouru la deuxième partie du trajet à la vitesse de 13 km/h. Fabrice, avec le reste de leurs amis, s'est arrêté pour manger des fouées. La pause a duré le sixième du temps mis par Loïc pour parcourir la deuxième partie du trajet. Le groupe mené par Fabrice est ensuite reparti et est arrivé en même temps que celui mené par Loïc.
1. Quelle est la vitesse moyenne de Loïc sur l'ensemble du trajet ? La comparer à la vitesse moyenne de Fabrice lorsqu'il a parcouru la deuxième partie du trajet.
En juin 2005, membres d'un club de vélo et amateurs non adhérents participaient à cette fête. Les organisateurs prévoient pour juin 2006 une augmentation de 2 % des participants en club et de 8 % des amateurs. Cela ferait une augmentation totale de 6 % du nombre de participants.
2. Quelle était la répartition des participants (membres d'un club / amateurs) en juin 2005 ?
1. Notons \(x\) la longueur totale du trajet (en km). Loïc parcourt la 1ère partie (\(\frac35x\) km) à 18 km/h, en un temps \(t_1=\dfrac{3x/5}{18}\text{ h}=\dfrac{x}{30}\text{ h}=2x\) min.
Il parcourt la 2ème partie (\(\frac25x\) km) à 13 km/h, en \(t_2=\dfrac{2x/5}{13}\text{ h}=\dfrac{2x}{65}\text{ h}=\dfrac{24x}{13}\) min.
Loïc parcourt donc \(x\) km en \(t_1+t_2=2x+\dfrac{24x}{13}=\dfrac{50x}{13}\) min \(=\dfrac{50x}{13\times60}\) h. Sa vitesse moyenne est \(\dfrac{x}{50x/(13\times60)}=\dfrac{13\times60}{50}=15{,}6\) km/h.
Fabrice fait une pause d'un sixième de \(t_2\), donc parcourt la 2ème partie en \(\frac56t_2=\dfrac{20x}{13}\) min. Sa vitesse sur cette portion : \(\dfrac{2x/5}{(20x/13)/60}=\dfrac{2x}{5}\times\dfrac{13\times60}{20x}=15{,}6\) km/h — exactement égale à la vitesse moyenne de Loïc sur tout le trajet.
2. Notons \(a\) le nombre d'amateurs et \(v\) le nombre de membres d'un club en juin 2005. L'augmentation globale de 6 % se traduit par : \(1{,}08a+1{,}02v=1{,}06(a+v)\), soit \(0{,}02a=0{,}04v\), soit \(a=2v\).
Il y avait deux fois plus d'amateurs que de membres d'un club (répartition \(\frac23\) d'amateurs, \(\frac13\) de membres).