Sujet
- On prend une feuille de papier de 21 cm de large et 29,7 cm de long (le format A4). On forme un cylindre en roulant la feuille et en faisant coïncider deux bords opposés. En faisant de même avec les deux autres bords opposés, on obtient un autre cylindre. Les deux cylindres ont-ils même volume ?
- Dans une feuille de papier de format A4, on enlève deux triangles de mêmes dimensions selon la figure ci-dessous. Si on roule la feuille restante bord à bord, on obtient un premier cylindre (n°1). Si on la roule en faisant coïncider les autres bords opposés, on obtient un second cylindre (n°2). Trouver la ou les valeurs de \(x\) (en cm) pour que les deux cylindres ainsi obtenus aient le même volume.
Pour un cylindre dont la hauteur est \(h\), le rayon de base \(R\) et la surface de base \(B\), le volume est \(V=B\times h=\pi R^2h\). Si le cylindre est formé à partir d'un rectangle de base \(a\) (qu'on enroule) et de hauteur \(b\) : \(a=2\pi R\) d'où \(R=\dfrac{a}{2\pi}\), puis \(V=\pi\left(\dfrac{a}{2\pi}\right)^2b=\dfrac{1}{4\pi}a^2b\).
1. Notons \(a=21=l\) et \(b=29{,}7=L\). Selon le sens d'enroulement : \(V_1=\dfrac{1}{4\pi}L^2l\) ou \(V_2=\dfrac{1}{4\pi}l^2L\). Donc \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{L}{l}\), et comme \(L\neq l\), \(V_1\neq V_2\) — inutile de calculer pour conclure.
2. Pour le cylindre n°1 : \(a=29{,}7-x=L-x\), \(b=21=l\), d'où \(V_1=\dfrac{1}{4\pi}(L-x)^2l\).
Pour le cylindre n°2, \(a=AC\) s'obtient par Pythagore dans le triangle ABC : \(AC^2=AB^2+BC^2=l^2+x^2\), donc \(a=\sqrt{l^2+x^2}\). Les triangles ABC et DEA étant semblables : \(\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\), soit \(\dfrac{b}{L-x}=\dfrac{l}{\sqrt{l^2+x^2}}\), d'où \(b=\dfrac{l(L-x)}{\sqrt{l^2+x^2}}\).
On obtient \(V_2=\dfrac{1}{4\pi}l(L-x)\sqrt{l^2+x^2}\). Alors :
\[V_1=V_2 \iff (L-x)^2=l^2+x^2 \iff L^2-2Lx=l^2 \iff x=\frac{L^2-l^2}{2L}\]
Numériquement, avec \(L=29{,}7\) et \(l=21\) : \(x\simeq7{,}426\), soit à peu près le quart de la longueur de la feuille (\(29{,}7/4=7{,}425\)).
Remarque du corrigé : le format A4 est choisi pour que \(L=l\sqrt2\) (deux feuilles A4 reconstituent un format identique par pliage) — mais 29,7 n'est qu'une valeur approchée de \(21\sqrt2\approx29{,}698\). Si le format était exactement \(21\times21\sqrt2\), on aurait exactement \(x=L/4\).