Sujet
La piste du champiodrome a la forme suivante : deux arcs formant les trois quarts d'un cercle, raccordés par les deux diagonales d'un carré, ces deux diagonales se coupant en un carrefour.
Au même instant, une tortue et un lièvre partent du carrefour, empruntant deux diagonales différentes menant à deux arcs de cercle différents (sur le dessin, une flèche pour la tortue, deux flèches pour le lièvre).
Les deux animaux courent à vitesse constante, et la tortue met 363 secondes pour parcourir la distance parcourue par le lièvre en 1 seconde.
Après 2005 rencontres (dépassements ou croisements au carrefour) hormis le départ, le lièvre abandonne. Combien de fois avait-il croisé la tortue au carrefour ?
Lorsque la tortue a parcouru une moitié du circuit, le lièvre a parcouru, lui, 363 demi-circuits, plus une demi-boucle : il dépasse la tortue à chaque boucle de rang pair, soit 181 fois, il parcourt encore un dernier demi-circuit, et les deux animaux se rencontrent au carrefour (les positions des deux protagonistes sont alors symétriques des positions de départ).
Lorsque la tortue effectue la deuxième moitié du circuit, le lièvre effectue à nouveau 363 demi-circuits, soit un demi-circuit plus 181 fois le circuit complet. Il a à nouveau dépassé la tortue 181 fois et se retrouve dans la position de départ, c'est-à-dire en position de croiser la tortue.
Chaque demi-circuit de la tortue comporte donc 181 dépassements et un croisement, soit 182 « dépassements ou croisements » au carrefour. On a donc des cycles de 182 « dépassements ou croisements », chaque cycle comportant en fait un seul croisement.
\(2005 = 11 \times 182 + 3\)
Donc pour 2005 « croisements ou dépassements », il se produit 11 cycles complets, soit 11 croisements.