Exercice 3 — Les 3 cercles — Olympiades 2005 Nantes

Sujet

Construire à l'intérieur du triangle équilatéral donné en annexe (voir le PDF ci-dessus) trois cercles de même rayon, tangents deux à deux et tangents chacun à deux côtés du triangle.

Justifier cette construction. On laissera tous les traits de construction.

Par symétrie, les trois cercles doivent avoir leurs centres alignés avec le centre du triangle sur les axes de symétrie (les bissectrices/médiatrices issues de chaque sommet). Chercher un point équidistant de deux côtés du triangle revient à le placer sur la bissectrice de l'angle qu'ils forment. Il faut donc trouver, pour chaque cercle, un point situé sur deux bissectrices à la fois.

Triangle équilatéral ABC avec 3 cercles tangents inscrits, centres G, H, I

1ère méthode : Soient D, E et F les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA] du triangle. Le triangle étant équilatéral, les droites (CD), (AE) et (BF) sont à la fois bissectrices des 3 angles et médiatrices des 3 côtés.

Appelons G le point d'intersection de [CD] (bissectrice de l'angle ACB) et de la bissectrice de l'angle CBF.

G est à égale distance des droites (CB), (CA) et (BF) (propriété des bissectrices) : c'est le centre d'un cercle tangent aux 2 côtés issus de C du triangle.

Les angles BAE et ABF mesurent \(30°\). L'angle GBA mesure \(15°\). Par ailleurs, le point G étant sur la médiatrice de [AB], le triangle AGB est isocèle, donc les angles GAB et GBA sont égaux. Il s'ensuit que les angles GAE et GAF sont égaux (\(15°\)), puis que (AG) est la bissectrice de CAE.

Le cercle défini précédemment est donc aussi tangent aux droites (BF) et (AE). Il suffit de reprendre cette démonstration 2 fois pour trouver les deux autres cercles.

2ème méthode : Soit ABC le triangle équilatéral, D, E et F les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. Le cercle de diamètre [AB] coupe le segment [CD] en G.

Les triangles AFB et AEB sont rectangles, donc ce cercle passe par E et F. G est sur la bissectrice de l'angle ACB, donc G est le centre d'un cercle tangent aux côtés [AC] et [BC].

Le triangle AGB est rectangle en G donc l'angle AGB mesure \(90°\). Par suite, en utilisant les mesures des angles, on prouve comme dans la méthode 1 que G est aussi sur la bissectrice de l'angle EAC, donc que le cercle précédent est aussi tangent à la droite (AE) ; par le même raisonnement, il est tangent à (BF).

Soit I et H les symétriques respectifs de G par rapport aux droites (AE) et (BF). Les trois cercles cherchés ont pour centres G, I et H et pour rayon la moitié de GI, autrement dit la distance entre G et la droite (AE).

3ème méthode : On construit le cercle inscrit dans le triangle ABE. On montre, par le même type de raisonnement que dans les méthodes précédentes, que ce cercle convient. Puis on trace les symétriques de ce cercle par rapport aux droites (AE) et (CD).