Olympiades · Académique Nantes · 2005 · Classe de Première
Le patron du magasin « La vie en roses » a décidé de vendre ses roses par bouquets de 7 ou de 11 roses et de présenter, en bouquets, toutes les roses qui lui sont livrées chaque jour. Aussitôt, les employés ont commenté cette décision.
Amandine : « Pas si facile ! Si, un jour on nous livre 37 ou 59 roses, personne n'arrivera à respecter le contrat. »
Brigitte : « D'accord, mais on nous livre parfois les roses par douzaines, et pour 5 ou 6 douzaines, je suis sûre d'y arriver. »
Chloé : « Je sais répartir 73 roses en faisant 6 bouquets de 11 roses et 1 bouquet de 7 roses. Comme \(74=73+8\times7-5\times11\), pour 74 roses je ferai 1 bouquet de 11 roses et 9 bouquets de 7 roses. Puis, en écrivant \(75=74+2\times11-3\times7\), je peux, avec 75 roses, réaliser 3 bouquets de 11 roses et 6 bouquets de 7 roses. »
Dorothée : « Bien vu, et tu peux continuer ainsi : dès que l'on sait réaliser ces bouquets pour un nombre \(n\) de roses avec au moins 3 bouquets de 7 roses ou au moins 5 bouquets de 11 roses, alors on arrivera à faire les bouquets quand la livraison comportera \(n+1\) roses. »
Étienne : « Le nombre maximum de roses livrées pour lequel on fera au plus 2 bouquets de 7 roses et au plus 4 bouquets de 11 roses est inférieur à 60. »
Fanny : « En réfléchissant à tout ce que vous venez de dire, je viens de trouver le plus grand nombre de roses pour lequel les exigences du patron ne sont pas satisfaites. »
Qui a raison ? Qui a tort ? Pourquoi ? Quel est le plus grand nombre de roses pour lequel les exigences du patron ne pourront pas être satisfaites ?
Amandine a raison. Pour 37 roses : \(37, 37-11=26, 26-11=15, 15-11=4\) — aucun multiple de 7. Pour 59 roses : \(59,48,37,26,15,4\) — aucun multiple de 7 non plus. Il est donc bien impossible de faire les bouquets pour 37 ou 59 roses.
Brigitte a raison. Pour 5 douzaines (60 roses) : \(60-11=49=7\times7\), donc 7 bouquets de 7 roses et 1 bouquet de 11. Pour 6 douzaines (72 roses) : \(72-44=28=4\times7\), donc 4 bouquets de 7 roses et 4 bouquets de 11.
Chloé a raison : \(73=6\times11+1\times7=66+7\). Comme \(1=8\times7-5\times11=56-55\), \(74=73+1=(6-5)\times11+(1+8)\times7=1\times11+9\times7\), soit 1 bouquet de 11 et 9 de 7 roses. Comme \(1=11\times2-7\times3=22-21\), \(75=74+1=(1+2)\times11+(9-3)\times7=3\times11+6\times7\), soit 3 bouquets de 11 roses et 6 bouquets de 7 roses.
Dorothée a raison : si l'on sait réaliser un nombre \(n\) de roses, alors \(n=p\times11+q\times7\) avec \(p\geqslant5\) ou \(q\geqslant3\). Si \(q\geqslant3\) : \(n+1=p\times11+q\times7+11\times2-3\times7=(p+2)\times11+(q-3)\times7\). Si \(q<3\) et \(p\geqslant5\) : \(n+1=p\times11+q\times7+8\times7-5\times11=(p-5)\times11+(q+8)\times7\). Dans les deux cas, \(n+1\) est réalisable. (Si \(q<3\) et \(p<5\), ce n'est pas garanti.)
Étienne a raison. En listant tous les cas \(p\in\{0,1,2,3,4\}\), \(q\in\{0,1,2\}\) :
| p | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| q | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| n | 0 | 7 | 14 | 11 | 18 | 25 | 22 | 29 | 36 | 33 | 40 | 47 | 44 | 51 | 58 |
Le plus grand de ces nombres réalisables « avec peu de bouquets » est bien 58, inférieur à 60. ✓
Fanny a raison. Les nombres réalisables avec \(p\leqslant4,q\leqslant2\) sont : 0, 7, 11, 14, 18, 22, 25, 29, 33, 36, 40, 44, 47, 51, 58. Par la règle de Dorothée, dès que \(n\) est dans cette liste, \(n+1\) est réalisable — donc impossibles sont exactement : 1, 8, 12, 15, 19, 23, 26, 30, 34, 37, 41, 45, 48, 52, 59. Pour 60 roses, \(p=1,q=7\) (avec \(q\geqslant3\)), donc on peut continuer indéfiniment au-delà.
Le plus grand nombre de roses pour lequel on ne peut pas satisfaire le patron est 59.