Exercice 1 — Pavages

Partir du plus petit carré, celui qui touche le carré noir (notons son côté \(c\)), et exprimer tous les autres côtés en fonction de \(c\) en utilisant à chaque fois que deux longueurs alignées doivent coïncider. On obtient ainsi les côtés de tous les carrés de proche en proche. La dernière étape consiste à écrire que le rectangle a deux paires de côtés opposés égaux : cela donne une équation en \(c\).

Pour résoudre cet exercice, il faut partir d'un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré \(C_1\)).

Si ce carré \(C_1\) a pour côté \(c\), le carré \(C_2\) a pour côté \(c+1\), et le carré \(C_3\) a pour côté \(c+2\).

Le carré \(C_4\) a pour côté \(c+3\). (À chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour côté \(1\).)

Ceci permet de déduire que le carré \(C_5\) a pour côté \(4\). Quant au carré \(C_6\), il a pour côté \(2c+1\).

On obtient qu'une des dimensions du rectangle initial est :

\[(2c+1)+(c+1)+(c+2), \text{ soit } 4c+4.\]

Le carré \(C_7\) a pour côté \(c+3+4\), soit \(c+7\). Donc l'autre dimension du rectangle initial est :

\[(c+7)+(c+3)+(c+2), \text{ soit } 3c+12.\]

Le dernier carré \(C_8\) a pour côté \(c+7+4\), soit \(c+11\). Finalement deux côtés opposés du rectangle ont pour dimensions :

\[4c+4 \text{ et } (c+7)+(c+11), \text{ soit } 2c+18.\]

Les deux côtés étant de même longueur, on a \(4c+4=2c+18\) ce qui donne \(c=7\).

En conclusion, le rectangle initial a pour dimensions 32 et 33.