Exercice 3 — Sportifs à vos calculettes !

Sujet

Dans cet exercice, on examine trois situations dans lesquelles les participants et les organisateurs de rencontres sportives sont amenés à faire des comptes. Les trois parties sont indépendantes et les candidats les traitent dans l'ordre qui leur convient.

« Balles neuves ! »

Un certain tournoi de tennis oppose les participants dans des parties desquelles est déclaré vainqueur le premier joueur à remporter deux sets (parties « en trois sets »). Le score de chaque set peut être :
7 jeux à 6 (à l'issue d'un jeu décisif), 7 jeux à 5,6 jeux à 4,6 jeux à 3,6 jeux à 2,6 jeux à 1,6 jeux à 0 .
On annonce ainsi le score détaillé d'une partie : \(6-4,6-2\), par exemple, ou \(7-6,3-6,7-5\), etc.

1. Une partie de 36 jeux sans jeu décisif est-elle possible ?
2. Dans une partie, les joueurs ont disputé 36 jeux. Le vainqueur et le vaincu ont gagné chacun 18 jeux. Quel peut être le score détaillé d'une telle partie ?
3. Lors d'une partie, le nombre total de jeux disputés a été 25.
   a) Quels en ont été les scores s'il n'y a eu que deux sets ?
   b) Dans tous les cas, combien de jeux le perdant a-t-il gagnés, au minimum ?

Division ou soustraction ?

Dans certains championnats, en football par exemple, les équipes sont classées selon le nombre des points qu'elles ont obtenus, mais il arrive qu'on doive départager deux équipes ayant le même total.
Par exemple, une poule disputée par 5 équipes a donné les résultats indiqués dans le tableau ci-contre. Toutes les équipes totalisent une victoire, deux matchs nuls et une défaite. Elles doivent être départagées.
Deux critères sont utilisés, ici ou là : le quotient du nombre de buts marqués par le nombre de buts encaissés et la différence de buts (différence entre ces deux nombres).

1. Quelles sont les quotients des équipes ? Quel est leur classement selon ce critère?
2. Quelles sont leurs différences de but? Quel est leur classement selon ce critère ?

Équipe 1-Équipe 2	Score
\(A-B\)	\(3-0\)
\(A-C\)	\(2-2\)
\(A-D\)	\(1-1\)
\(A-E\)	\(0-1\)
\(B-C\)	\(6-0\)
\(B-D\)	\(2-2\)
\(B-E\)	\(3-3\)
\(C-D\)	\(3-1\)
\(C-E\)	\(2-2\)
\(D-E\)	\(3-1\)

1. Sans changer l'issue d'aucune des dix rencontres (même vainqueur ou résultat nul), en modifiant seulement des scores, peut-on imaginer que le classement selon la différence de buts soit dans l'ordre B D A E C?

Lancers francs

Au cours d'une saison de championnat, une basketteuse peut être amenée à tirer plusieurs dizaines de lancers francs (tir direct consécutif à une faute adverse). Les journaux spécialisés publient des statistiques concernant cet acte de jeu.

1. Clara s'améliore

À l'issue de la première partie de la saison, Clara atteint un taux de réussite aux lancers francs inférieur à \(60 \%\). Elle travaille à l'entraînement ce geste technique et, à la fin de la saison, son taux de réussite dépasse les \(60 \%\). Donner un exemple montrant qu'il est possible qu'à aucun moment elle n'ait eu un taux de réussite exactement égal à \(60 \%\).
2. ... mais Céline reste plus adroite

Céline avait un taux de réussite inférieur à \(75 \%\) en milieu de saison, mais termine avec un taux supérieur à \(75 \%\). Prouver qu'à un certain moment son taux de réussite a été exactement égal à \(75 \%\).

\end{document}