Exercice 2 — Coin coupé

Sujet

1. Deux cerfs-volants

On considère un carré \(A B C D\) de centre \(O\), de côté 1 et les milieux respectifs \(E\) et \(F\) des \([A B]\) et [AD]. Les segments [DE] et [BF] se coupent en \(G\).
a. Démontrer que la longueur OG est égale à \(\frac{\sqrt{2}}{6}\)
b. En déduire l'aire du triangle BDG.
c. Quel est le rapport des aires des quadrilatères ABGD et BCDG ?

côtés

2. Deux pentagones

Le carré \(A B C D\) a toujours pour côté 1 . Dans cette nouvelle situation, les points \(E\) et \(F\) situés au tiers et aux deux-tiers du segment \([\mathrm{AB}]\) en allant de A vers B , et les points G dessinent la même configuration sur le segment [AD]. Les segments [DE] et [FH] se coupent en J, les segments [BG] et [FH] se coupent en I.
[0pt] a) Démontrer que I et J sont les milieux respectifs de [BG] et [DE].
b) Démontrer que le rapport \(\frac{\text { aire du pentagone ABIJD }}{\text { aire du pentagone BIJDC }}\) est égal à \(\frac{5}{13}\).

sont et H

3. Étude cartésienne générale

On donne un entier \(n\) non nul.
On rapporte le plan au repère orthonormé (A; \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ). Sur chacun des \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{AD}]\) du carré ABCD , on place \(n-1\) points : \(\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}, \ldots, \mathrm{~B}_{n-1}\) sur côté [AB], \(\mathrm{D}_{1}, \mathrm{D}_{2}, \ldots, \mathrm{D}_{n-1}\) sur le côté [AD], de sorte que les graduations créées soient régulières. On construit alors les segments \(\left[\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}\right],\left[\mathrm{B}_{2} \mathrm{D}_{n-1}\right], \ldots\left[\mathrm{BD}_{1}\right]\), comme sur la figure ci-contre. Si besoin est, pose \(\mathrm{B}_{n}=\mathrm{B}, \mathrm{D}_{n}=\mathrm{D}\) et \(\mathrm{B}_{0}=D_{0}=\mathrm{A}\)
On se demande quelle est l'aire du « coin coupé » (aire limitée par les \([\mathrm{AB}]\) et [AD] et la ligne polygonale qui va de B à D en coïncidant tour à avec des parties des segments tracés.

On suppose que le nombre \(n\) est assez grand pour que les calculs

côtés le ainsi on côtés tour proposés soient légitimes.
a) Pour tout entier \(p\) non nul inférieur ou égal à \(n\), calculer l'abscisse du point d'intersection \(\mathrm{M}_{p}\) des droites \(\left(\mathrm{D}_{p} \mathrm{~B}_{n+1-p}\right)\) et \(\left(\mathrm{D}_{p-1} \mathrm{~B}_{n+2-p}\right)\).
b) Quelle est l'aire du triangle \(\mathrm{D}_{p} \mathrm{D}_{p-1} \mathrm{M}_{p}\) ?
c) Quelle est l'aire du « coin coupé » ?

On pourra utiliser les résultats suivants, vrais pour tout entier non nul \(p\) :

\[ 1+2+3+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2} \text { et } 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \]

d) Montrer que, pour tout entier \(n\), l'aire du coin coupé est supérieure à \(\frac{1}{6}\).