Sujet
Un triangle équilatéral est divisé en neuf petits triangles équilatéraux. Initialement, le nombre 0 est inscrit dans chacune des neuf cases. Une opération consiste à choisir deux petits triangles équilatéraux ayant un côté commun et ajouter 1 à chacun des nombres inscrits dans ces deux petits triangles.
Dans la suite, les cases, et les contenus, seront notées \(a, b, c, d, e, f, g, h, i\).
- À partir de la situation initiale, on veut que les neuf nombres inscrits dans les
triangles soient \(0,1,2,3,4,5,6,7\) et 8 . Donner, en la détaillant, une suite d'opérations permettant de réaliser cet objectif. - À partir de la situation initiale, on veut que les neuf nombres inscrits dans les triangles soient \(2,3,4,5,6,7,8,9\) et 10 . Donner, en la détaillant, une suite d'opérations permettant de réaliser cet objectif.
- À partir de la situation initiale, on effectue un certain nombre d'opérations. On
note alors \(S\) la somme des nombres figurant dans les cases \(c, f\) et \(h\) et \(T\) la somme des nombres figurant dans les six autres cases. Prouver que \(S=T\). - À partir de la situation initiale, on effectue un certain nombre d'opérations.
a. On constate alors qu'on peut trouver un entier naturel \(n\) tel que les nombres figurant dans les cases soient
\[ n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8 . \]
Prouver que \(n \leq 2\).
b. Quels sont les entiers \(n\) pour lesquels on peut effectivement obtenir la configuration ci-dessus ?
5. Soit \(m\) un entier naturel. Est-il possible qu'après une suite d'opérations les neuf nombres inscrits dans les petits triangles soient tous distincts et tous des puissances de \(m\) ?
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