Exercice 3 — Le papillon butineur

Sujet

Le schéma ci-dessous modélise un alignement de fleurs. Deux fleurs consécutives sont espacées de 10 cm , soit 1 dm .

Un papillon placé sur la fleur \(F_{0}\) décide de butiner le long de cet alignement de fleurs.
Le papillon effectue des déplacements successifs de longueurs égales à \(3 \mathrm{dm}, 5 \mathrm{dm}, 9 \mathrm{dm}, 17 \mathrm{dm}\),... et de manière générale \(\left(2^{k}+1\right) \mathrm{dm}\) lors du \(k\)-ième déplacement.

Avant chacun d'eux, il choisit de façon équiprobable de se déplacer vers la droite ou bien vers la gauche.
Par exemple, en partant de \(F_{0}\), lors d'un premier déplacement, il peut butiner la fleur \(F_{3}\), puis après un deuxième déplacement butiner la fleur \(F_{-2} \ldots\) ainsi de suite.

PARTIE A - « Où que ce soit ? »

1. Le papillon est placé sur la fleur \(F_{0}\) et il effectue deux déplacements. Donner la liste des fleurs sur lesquelles le papillon peut être positionné après ces deux déplacements.
2. En partant de \(F_{0}\), proposer un parcours avec au moins un déplacement, qui permet au papillon de venir butiner à nouveau la fleur \(F_{0}\)
3. Toujours en partant de \(F_{0}\), est-il possible après 5 déplacements, d'atteindre une fleur dont le numéro est pair ?
4. Le papillon est poursuivi par un second papillon, soumis aux mêmes règles de déplacement, mais avec une étape de retard. Ainsi lorsque le premier papillon fait un déplacement de longueur \(\left(2^{k}+1\right) \mathrm{dm}, k>1\), le second papillon fait un déplacement de longueur \(\left(2^{k-1}+1\right) \mathrm{dm}\) dans le même sens que le premier. Dans cette question, on suppose que pour échapper au second papillon, le premier papillon se déplace toujours vers la droite. La poursuite commence après le premier déplacement du premier papillon. Celui-ci se trouve donc en \(F_{3}\) et le second papillon est en \(F_{0}\).

Après un nouveau déplacement, le premier papillon se trouve en \(F_{8}\) et le second en \(F_{3}\). Et ainsi de suite.
Pour \(k>0\), on note \(P_{k}\) le numéro de la fleur atteinte par le premier papillon après \(k\) déplacements vers la droite et \(Q_{k}\) le numéro de la fleur atteinte par le second papillon.

On a donc \(P_{1}=3\) et \(Q_{1}=0, P_{2}=8\) et \(Q_{2}=3, \ldots\) etc.
a. A quelle distance se trouvent les deux papillons l'un de l'autre après \(k\) déplacements vers la droite?
b. Démontrer que \(P_{k}=2 Q_{k}-k+4\).
c. Déduire de a) et b) que \(P_{k}=2^{k+1}+k-2\).

On a démontré dans cette question 4, qu'un papillon qui effectue \(k\) déplacements dans la même direction s'est déplacé de \(\left(2^{k+1}+k-2\right) d m\).
5. Toujours en partant de \(F_{0}\), et en supposant que le premier papillon est immortel, démontrer qu'il peut atteindre n'importe quelle fleur de l'alignement, après être passé éventuellement plusieurs fois par une ou plusieurs fleurs.