Exercice 4 — Fonctions

Sujet

Série S

On considère l'ensemble \(\mathcal{E}\) des fonctions polynômes de degré inférieur à 3 c'est à dire de la forme

\[ f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \]

telles que pour tout \(x\) de \([-1 ; 1]\), on a \(-1 \leq f(x) \leq 1\) et le maximum de \(|f|\) sur \([-1 ; 1]\) vaut 1 .

1. Déterminer toutes les fonctions affines appartenant à \(\mathcal{E}\).
2. Déterminer toutes les fonctions du second degré à coefficients entiers appartenant à \(\mathcal{E}\).
3. Soit \(\boldsymbol{f}\) une fonction appartenant à \(\mathcal{E}\). On définit les fonctions \(\boldsymbol{g}\) et \(\boldsymbol{h}\) pour tout \(\boldsymbol{x}\) réel par

\[ g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \text { et } h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} \]

a. Montrer que pour réel tout \(\boldsymbol{x}\) de \([-\mathbf{1} ; \mathbf{1}]\), on a \(-\mathbf{1} \leq \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) \leq \mathbf{1}\) et \(-\mathbf{1} \leq \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}) \leq \mathbf{1}\)
b. Les fonctions \(\boldsymbol{g}\) et \(\boldsymbol{h}\) appartiennent-elles toujours à \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ?
4. On cherche dans cette partie la plus grande valeur possible \(\boldsymbol{M}\) pour \(|\boldsymbol{a}|\) quand \(\boldsymbol{f}\) est un élément de \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\).
a. À l'aide de la question 3, démontrer que si \(\boldsymbol{f}\) est un élément de \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\), alors \(|\boldsymbol{a}| \leq \mathbf{4}\).
\(\boldsymbol{b}\). Déterminer toutes les fonctions de \(\mathcal{E}\) s'écrivant \(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathbf{4} \boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{c x}+\boldsymbol{d}\).
c. En déduire la valeur de \(\boldsymbol{M}\).