Exercice 3 — Points...

Sujet

Série S

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit \(C\) le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 .
Soit \(d\) la droite d'équation \(y=0.5\). On nomme \(P\) et \(Q\) les points d'intersection du cercle \(C\) avec la droite \(d\), et \(A\) et \(B\) leurs projetés orthogonaux sur l'axe des abscisses.

A tout point \(M\) du cercle \(C\) on associe le point \(M^{\prime}\) obtenu selon le procédé suivant:
\(H\) est le projeté orthogonal du point \(M\) sur l'axe des abscisses et \(M^{\prime}\) est le milieu du segment [ \(H M\) ].

1. Compléter la figure en plaçant une dizaine de points \(M\) et leurs images \(M^{\prime}\).
2. Quelle semble être la nature de l'ensemble décrit par le point \(M^{\prime}\) ?
3. On note \((x ; y)\) les coordonnées du point \(M\). Démontrer que \(x^{2}+y^{2}=1\).
4. Calculer les coordonnées des points \(A\) et \(B\).
5. Donner les coordonnées de \(M^{\prime}\) en fonction de celles de \(M\).
6. Montrer que la distance \(M^{\prime} A+M^{\prime} B\) est constante.
7. Quelle est la relation vérifiée par les coordonnées du point \(M^{\prime}\) ?