Exercice 2 — Fonctions

Sujet

Séries autres que S

On considère l'ensemble \(\mathcal{E}\) des fonctions polynômes de degré inférieur à 3 c'est à dire de la forme

\[ f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \]

telles que pour tout \(\boldsymbol{x}\) de \([-\mathbf{1} ; \mathbf{1}]\), on a \(-\mathbf{1} \leq \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \leq \mathbf{1}\).

1. Déterminer trois fonctions affines non constantes appartenant à \(\mathcal{E}\).
2. On cherche à déterminer les fonctions du second degré \(\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{c x}+\boldsymbol{d}\right)\) à coefficients entiers appartenant à \(\mathcal{E}\).
   a. Montrer que \(\boldsymbol{d}\) ne peut prendre que les valeurs \(-\mathbf{1}, \mathbf{0}, \mathbf{1}\).
   b. Dans le cas où \(\boldsymbol{d}=\mathbf{0}\), calculerf(-1)+f(1) et en déduire les valeurs possibles de \(\boldsymbol{b}\), puis déterminer complètement \(\boldsymbol{f}\).
   c. Dans le cas où \(\boldsymbol{d}=\mathbf{1}\) ou \(=-\mathbf{1}\), montrer que le point \(\boldsymbol{S}(\mathbf{0}, \boldsymbol{d})\) est nécessairement le sommet de la parabole d'équation \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\) dans un repère du plan, puis déterminer complètement \(\boldsymbol{f}\).
3. Soit \(f\) une fonction appartenant à \(\mathcal{E}\). On définit les fonctions \(g\) et \(h\) pour tout \(x\) réel par

\[ g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \text { et } h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} \]

Prouver que \(\boldsymbol{g}\) et \(\boldsymbol{h}\) appartiennent à \(\mathcal{E}\).
4. On cherche dans cette partie la plus grande valeur possible \(\boldsymbol{M}\) pour \(|\boldsymbol{a}|\) quand \(\boldsymbol{f}\) est un élément de \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\).
a. À l'aide de la question 3, démontrer que si \(\boldsymbol{f}\) est un élément de \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\), alors \(|\boldsymbol{a}| \leq \mathbf{4}\).
b. Montrer que la fonction \(\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\mathbf{4} \boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}\) est un élément \(\mathcal{E}\).
c. En déduire la valeur de \(\boldsymbol{M}\).