Sujet
Daniel est un apiculteur heureux. Il considère que ses abeilles rayonnent au maximum à 5 km de leur ruche pour butiner ses fleurs. On admet donc que la zone couverte par les abeilles d'une ruche peut être représentée par un disque de rayon 5 km ayant pour centre un point représentant la ruche. Quand Daniel place une ruche sur un terrain, la zone couverte par les abeilles de cette ruche ne dépasse jamais les limites de ce terrain.
Deux ruches sont dites en concurrence lorsqu'une partie de la zone est butinée par les abeilles des deux ruches. Daniel estime que la concurrence est acceptable si moins de \(8 \%\) de la surface couverte par les abeilles d'une ruche est en concurrence avec une autre ruche.
Remarques : il sera souvent nécessaire de faire un dessin, même à main levée, pour éclairer les démonstrations. Quelques résultats utiles sont indiqués à la fin du sujet.
- Quelle est la distance minimale entre deux ruches qui ne sont pas en concurrence ?
- Quelle est en \(\mathrm{km}^{2}\) l'aire de la zone couverte par les abeilles de deux ruches qui ne sont pas en concurrence ? On arrondira le résultat au \(\mathrm{km}^{2}\) le plus proche.
- Daniel possède un terrain carré et souhaite y placer quatre ruches. Quelle est la longueur minimale du côté de son terrain pour que les ruches ne soient pas concurrentes ?
- Il se trouve que le terrain carré de Daniel est trop petit pour éviter la concurrence entre ses ruches. Il se demande si cette concurrence sera acceptable.
Etudions pour commencer la situation de deux ruches A et B à une distance \(d\) l'une de l'autre avec \(0
a. Démontrer que l'aire de la zone de concurrence des deux ruches est égale à \(\frac{5 \pi}{36} x-25 \sin x\) (exprimée en \(\mathrm{km}^{2}\) ). On pourra s'aider des résultats donnés en fin de sujet.
b. Montrer que, pour que la concurrence entre les deux ruches soit acceptable, la zone de concurrence doit occuper une aire inférieure à \(2 \pi \mathrm{~km}^{2}\).
c. A l'aide de sa calculatrice, Daniel a déterminé que la concurrence est acceptable lorsque \(x\) est inférieur ou égal à 67 degrés. Comment a-t-il pu procéder ?
d. On rappelle que le terrain de Daniel est carré. Déterminer la plus petite longueur (en km) du côté du carré pour que la concurrence soit acceptable. (On arrondira le résultat au dixième). Quelle est alors l'aire (arrondie au \(\mathrm{km}^{2}\) ) de la zone qui n'est atteinte par aucune abeille de ses quatre ruches ? - a. Gauthier, le voisin de Daniel, n'a que trois ruches qu'il envisage de disposer : soit en ligne dans un terrain rectangulaire, soit en triangle dans un terrain dont la forme est un triangle équilatéral. Dans chacun de ces deux cas, déterminer l'aire minimale de la surface de son terrain nécessaire pour qu'il n'y ait pas de concurrence entre les ruches.
On soignera les justifications. Les réponses seront arrondies au \(\mathrm{km}^{2}\).
b. Gauthier explique à Daniel qu'il a disposé ses trois ruches dans un terrain dont la forme est un triangle équilatéral et que ses trois ruches sont simultanément en concurrence (une partie de la zone est butinée par les abeilles des trois ruches !) Est-il possible que toute concurrence entre deux de ces trois ruches soit acceptable?
Quelques résultats utiles :
(1) L'aire d'un secteur angulaire d'angle x (en degrés) et de rayon \(R\) vaut : \(\frac{\pi}{360} R^{2} x\).(2) Pour tout réel a, \(2 \sin (a) \cos (a)=\sin (2 a)\).
(3) Dans un triangle d'aire \(S\) et de périmètre \(p\), le rayon du cercle inscrit est donné par : \(\frac{2 S}{p}\).
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