Exercice 2 — Les Répétuns

Sujet

Séries ES, L, ST2S, STD2A, STHR,STMG

Rappels :

• On dit qu'un entier naturel est « premier» lorsqu'il est divisible par exactement deux entiers naturels, 1 et lui-même ; par exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 41, 101, 271, 9901...
• La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un entier naturel strictement supérieur à 1 sous forme d'un produit de nombres premiers.
  Par exemple : \(45=3^{2} \times 5 ; 360=2^{3} \times 3^{2} \times 5 ; 1001=7 \times 11 \times 13\) etc.

Dans ce problème, on s'intéresse à la suite de nombres composés uniquement du chiffre 1 . On note ainsi \(R_{1}=1\), \(R_{2}=11, R_{3}=111\) et, ainsi de suite, \(R_{n}=111 \ldots 1\) écrit à l'aide de \(n\) chiffres 1 , ( \(n\) désignant un entier naturel non nul).

1. Donner les valeurs de \(\left(R_{2}\right)^{2},\left(R_{3}\right)^{2},\left(R_{4}\right)^{2}\) et \(\left(R_{5}\right)^{2}\), puis écrire la valeur exacte de \(\left(R_{9}\right)^{2}\).
2. Pour tout \(n\) entier naturel non nul, \(R_{n}\) peut s'écrire sous la forme :

\[ R_{n}=10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^{2}+10^{1}+1 . \]

Exemple: \(R_{5}=11111=10000+1000+100+10+1=10^{4}+10^{3}+10^{2}+10^{1}+1\).
Démontrer que 11 est un diviseur de \(R_{2 n}\). On pourra admettre ce résultat si on n'arrive pas à le démontrer.
3. Trouver deux nombres premiers inférieurs à 10 qui n'apparaissent jamais dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre \(R_{n}\) quelconque (justifier la réponse).
4. Quelle est la condition sur \(n\) pour que le nombre 3 apparaisse dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre \(R_{n}\) ?
5. Démontrer que \(R_{2}\) est le seul nombre premier parmi les \(R_{n}\) pour \(n\) entier compris entre 1 et 6 : on donnera la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres \(R_{3}, R_{4}, R_{5}\) et \(R_{6}\).
6. On admet que si \(p\) divise \(q\) alors \(R_{p}\) divise \(R_{q}\).

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre \(R_{12}\).
7. Quand on écrit \(\frac{1}{p}\) sous forme décimale avec \(p=7\), on obtient le nombre \(0,14285714285714 \ldots\); la partie décimale est composée d'une séquence de chiffres qui se répète infiniment. On note \(N\) le nombre 142857.
a. Quel est le plus petit entier \(n\) tel que 7 divise \(9 R_{n}\) ?
b. Vérifier que \(N=\frac{9}{7} R_{6}\).
c. Vérifier que la somme de chiffres composant \(N\) pris deux à deux est égale à 9 .
8. En s'inspirant de la question 7. et sans utiliser de division, déterminer la partie décimale du nombre \(\frac{1}{13}\).