Exercice 1 — Harmonie

Sujet

Le triplet \((a ; b ; c)\) est dit harmonique lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :
\(-a, b\) et \(c\) sont trois entiers naturels non nuls ;
\(-a \geq b\);
\(-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
Le triplet ( \(6 ; 3 ; 2\) ) est harmonique car les deux premières conditions sont vérifiées et \(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\).

1. Déterminer \(c\) pour que le triplet \((6 ; 6 ; c)\) soit harmonique.
2. En dehors des deux triplets précédents, donner trois autres exemples de triplets harmoniques.
3. Démontrer qu'il existe une infinité de triplets harmoniques.
4. Justifier que, dans un triplet harmonique \((a ; b ; c)\), on a toujours \(b>c\).
5. Exprimer \(a\) en fonction de \(n\) pour que le triplet ( \(a ; n ; n-1\) ) soit harmonique ; en déduire la valeur de \(a\) tel que le triplet ( \(a\); 2018 ; 2017) soit harmonique.
6. Déterminer les deux seuls triplets harmoniques de la forme (6; \(b ; c\) ).
7. Déterminer tous les triplets harmoniques de la forme \((a ; 6 ; c)\).
8. Déterminer tous les triplets harmoniques de la forme ( \(a ; b ; 6\) ).
9. Jeanne a 17 ans aujourd'hui. Pourra-t-elle trouver un triplet harmonique commençant par son année de naissance (tel que \(a=2001\) ) ?