Exercice 2 — Collige virgo rosas

Sujet

Votre amie Rosas Park a construit une belle rosace à 6 feuilles dont elle colorie l'intérieur. Elle trouve que son dessin manque de couleur et veut combler les parties restées blanches par un chapelet de disques colorés tangents les uns aux autres et aux feuilles de sorte de remplir au maximum ces parties blanches. Comme elle ne sait pas comment construire l'ensemble de ces cercles, elle fait appel à vous pour répondre à terme à ces deux questions :
« Quel centre et quel rayon doit avoir chacun des disques afin d'obtenir une figure semblable à celle ci-contre ? »
« Quelle est l'aire qui sera colorée par les six feuilles et dix niveaux de disques tangents (seuls cinq niveaux sont représentés ci-contre) ? »

1. Construire une rosace à l'intérieur d'un cercle de rayon 6.
   
2. On considère le triangle équilatéral OBC ci-contre de côté de longueur 6. La zone hachurée correspond à la partie comprise entre l'arc de cercle de centre B , d'extrémités C et O et le segment [CO].
   a. Montrer que la hauteur de OBC est \(3 \sqrt{3}\).
   [0pt] b. Calculer l'aire de la portion de disque délimitée par les segments [OB] et [BC] et par l'arc de cercle \(\wideparen{\mathrm{CO}}\).
   c. En déduire l'aire de la zone hachurée sur la figure ci-contre.
   d. En déduire que l'aire totale des six feuilles d'une rosace inscrite dans un cercle
   
   de rayon 6 est de \(36(2 \pi-3 \sqrt{3})\).
   
3. On note \(\mathrm{I}_{1}\) le centre du plus grand des cercles à droite de la figure; on note \(R_{1}\) son rayon. Plus généralement, par ordre décroissant des aires, le \(n^{e m e}\) cercle en partant de droite a pour centre \(\mathrm{I}_{n}\) et pour rayon \(R_{n}\). En travaillant dans le triangle \(\mathrm{OJI}_{1}\) rectangle en O , démontrer que \(R_{1}=\frac{3}{2}\) et que \(\mathrm{OI}_{1}=\frac{9}{2}\).
   a. Déterminer \(R_{2}\) ainsi que la longueur \(\mathrm{OI}_{2}\).
   b. Compléter la rosace en traçant les deux cercles de centres respectifs \(\mathrm{I}_{1}\) et \(\mathrm{I}_{2}\) et de rayons respectifs \(R_{1}\) et \(R_{2}\).
   4 On note \(\mathrm{A}_{n}\) le point d'intersection le plus à droite entre le cercle de centre \(\mathrm{I}_{n}\) et de rayon \(R_{n}\) avec la droite ( \(\mathrm{OI}_{1}\) ). Justifier à partir de considérations géométriques les relations suivantes:
   a. \(\mathrm{OI}_{n}^{2}=R_{n}^{2}+12 R_{n}\), b. \(\mathrm{OA}_{n}=R_{n}+\mathrm{OI}_{n}\), c. \(\mathrm{OA}_{n+1}=\mathrm{OA}_{n}-2 R_{n}\).
4. Déduire des relations du 4.a. et du 4.b. que \(R_{n}=\frac{\mathrm{OA}_{n}{ }^{2}}{2\left(\mathrm{OA}_{n}+6\right)}\).
5. En utilisant les résultats des questions 4. c. et 5. proposer un algorithme qui calcule et affiche l'aire colorée des six feuilles de la rosace et du chapelet de dix cercles.
6. a. Montrer que \(\mathrm{OA}_{n+1}=\frac{6 \mathrm{OA}_{n}}{\mathrm{OA}_{n}+6}\).
   b. Démontrer que \(\frac{6}{\mathrm{OA}_{n+1}}=\frac{6}{\mathrm{OA}_{n}}+1\).
   c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\mathrm{OA}_{n}=\frac{6}{n}\).
   d. En déduire les expressions de \(R_{n}\) et de \(\mathrm{OI}_{n}\) en fonction de \(n\).