Exercice 2 — L'éventail japonais

Sujet

Série S

Dans un éventail ouvert aux deux tiers, on inscrit cinq cercles comme indiqué sur la figure 1. Celle-ci admet pour axe de symétrie la médiatrice de [BC].
Les cercles de la partie supérieure sont tangents entre eux, au segment [ \(C B\) ] et à l'arc de cercle \(\wideparen{C B}\).
Les deux cercles de la partie inférieure sont tangents aux côtés \([O C]\) ou \([O B]\), à \([C B]\) et à l'arc de cercle \(\wideparen{L K}\).
Pour effectuer la construction, on cherche à exprimer les rayons de chaque cercle en fonction du demi-rayon de l'éventail, soit en fonction de \(R_{1}=\frac{O B}{2}\).

1. Préliminaire

Figure 1

2. Relation entre \(\boldsymbol{R

_{\mathbf{1}}\) et \(\boldsymbol{R}_{\mathbf{2}}\)} On utilisera les notations du schéma ci-contre. Exprimer \(R_{2}\) en fonction de \(R_{1}\).

3. Relation entre \(\boldsymbol{R

_{\mathbf{1}}\) et \(\boldsymbol{R}_{\mathbf{3}}\)}

On utilisera les notations du schéma ci-contre.
a. En utilisant la partie préliminaire, exprimer les longueurs des côtés du triangle \(O E F\) en fonction de \(R_{1}\) et \(R_{3}\).
b. En déduire que \(R_{3}=\frac{3}{8} R_{1}\). eux et à la droite (d).
Montrer que la longueur \(L\) est égale à \(2 \sqrt{R_{1} R_{2}}\).

Les cercles \(C_{1}\) et \(C_{2}\) ci-dessus de rayons respectifs \(R_{1}\) et \(R_{2}\) sont tangents entre