Exercice 1 — Ampoules clignotantes

Sujet

On dispose en ligne plusieurs ampoules électriques branchées. On les numérote à partir de 1 en partant de celle la plus à gauche.
Au départ, lors de la première minute de l'expérience, seule l'ampoule située à gauche (notée \(\mathrm{N}^{\circ} 1\) ) est allumée. Et elle restera toujours allumée.
Par la suite, toutes les minutes, pour les autres ampoules, l'opération suivante est réalisée : chaque ampoule change d'état (elle s'allume ou elle s'éteint) si et seulement si celle située à sa gauche était allumée lors de la minute d'avant.

1. On commence par étudier l'état des 20 premières ampoules au cours des 17 premières minutes. Par convention, une ampoule allumée sera représentée par un disque blanc et une ampoule éteinte par un disque noir. En annexe est fournie une représentation de ces 20 ampoules. Les 11 premières minutes de l'étude sont représentées (la première ligne correspond à la \(1^{\text {ère }}\) minute durant laquelle seule l'ampoule \(\mathrm{N}^{\circ} 1\) est allumée, la suivante correspond à la \(2^{\text {ème }}\) minute où seules les ampoules \(\mathrm{N}^{\circ} 1\) et \(\mathrm{N}^{\circ} 2\) sont allumées …). Les minutes allant de la \(15^{\text {ème }}\) minute à la \(17^{\text {ème }}\) minute sont aussi représentées.
   Compléter l'annexe pour représenter l'état des 20 ampoules au cours des minutes 12 à 14 .
2. On considère l'ampoule \(\mathrm{N}^{\circ} 2\). Quel est son état durant la \(K^{\text {ème }}\) minute, pour \(K\) entier naturel non nul ? Justifier la réponse.
3. Soit \(K\) un entier naturel non nul. Expliquer pourquoi l'ampoule \(\mathrm{N}^{\circ} \mathrm{K}\) s'allume pour la première fois lors de la \(K^{\text {ème }}\) minute.
4. On souhaite décrire l'état des ampoules durant la \(K^{\text {ème }}\) minute, où \(K\) est de la forme \(K=2^{n}\) avec \(n \in \mathbb{N}\).
   a. Qu'en est-il au cours des minutes de la forme \(K=2^{n}\) pour \(n\) allant de 0 à 4 ?
   b. Énoncer une généralisation pour l'état des ampoules durant une minute \(K=2^{n}\). On admettra le résultat.
5. Justifier que durant la \(K^{\text {ème }}\) minute, où \(K\) est un entier de la forme \(K=2^{n}+1\), deux ampoules seulement sont allumées.
6. Décrire l'état des ampoules entre les minutes \(K=2^{n}+1\) et \(K=2^{n}+2^{n}=2^{n+1}\). On comparera en particulier avec l'état observé entre les minutes \(K=1\) et \(K=2^{n}\).
7. Soit un entier \(K, K \geq 2\), on admet qu'il existe un seul entier naturel \(n\) vérifiant \(2^{n}+1 \leq K \leq 2^{n+1}\).
   \(\boldsymbol{a}\). Rédiger un algorithme répondant à la problématique suivante : l'utilisateur donne un entier \(K\) et l'entier \(n\) défini ci-dessus lui est donné en sortie.
   b. Quel est le lien entre le nombre d'ampoules allumées lors de la \(K^{\text {ème }}\) minute et le nombre d'ampoules allumées lors de la minute \(\left(K-2^{n}\right)\) ?
8. L'expérience s'arrête lorsque l'ampoule \(\mathrm{N}^{\circ} 2018\) s'allume pour la première fois. Combien d'ampoules sont alors allumées ?