Exercice 6 — Intercaler la somme

Sujet

Pour toutes fractions irréductibles \(x=\frac{a}{b}\) et \(y=\frac{c}{d}\), on appelle « somme du cancre» de \(x\) et \(y\) la fraction irréductible obtenue par l'opération \(x \oplus y=\frac{a+c}{b+d}\).

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On applique le processus suivant, où \(n\) représente le numéro de l'étape :
Etape 1 : on commence avec la liste de deux nombres \(F_{1}=\left(\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{1}} ; \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}}\right)\).
Etape 2 : entre les deux nombres, on intercale leur « somme du cancre» : \(F_{2}=\left(\frac{0}{1} ; \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} ; \frac{1}{1}\right)\).
Etape 3 : entre deux nombres consécutifs, on intercale leur « somme du cancre» : \(F_{3}=\left(\frac{0}{1} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{1}\right)\).
Etape \(\boldsymbol{n}\) : entre deux nombres consécutifs de la liste de \(F_{n-1}\), on intercale leur « somme du cancre» si le dénominateur de celle-ci ne dépasse pas \(\boldsymbol{n}\) (sinon on n'intercale aucun nombre). On obtient alors \(F_{n}\).

1. Déterminer les listes \(F_{4}\) et \(F_{5}\).
2. Démontrer que pour tous \(x\) et \(y\) de \(F_{n}\), si \(x
3. On admet que si \(x=\frac{a}{b}\) et \(y=\frac{c}{d}\) sont deux fractions consécutives de \(F_{n}\) alors \(a d-b c=-1\).

Dans un repère orthonormé ( \(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ), le cercle de Ford associé à la fraction irréductible \(\frac{a}{b}\) est le cercle de centre le point de coordonnées \(\left(\frac{a}{b} ; \frac{1}{2 b^{2}}\right)\) et de rayon \(\frac{1}{2 b^{2}}\).
4. Montrer que si \(x\) et \(y\) sont deux fractions consécutives de \(F_{n}\) alors les cercles de Ford associés sont tangents et tangents à l'axe des abscisses.

Cercles de Ford associés à \(F_{3\)}