Exercice 5 — Des carrés et des hachures

Sujet

A. Un cas particulier

On considère un tableau de taille \(5 \times 5\). Chaque carré du tableau peut être laissé blanc ou bien être hachuré. Une ligne est dite blanche-dominante si elle comporte plus de carrés blancs que de carrés hachurés et une colonne est dite hachurée-dominante si elle possède plus de carrés hachurés que de carrés blancs.

On note \(S\) la somme du nombre de lignes blanches-dominantes et du nombre de colonnes
hachurées-dominantes.

1. Que vaut \(S\) pour le tableau ci-contre?
2. Trouver un tableau pour lequel \(S=8\).
   

B. Le cas général

On considère maintenant plus généralement un tableau de taille \(n \times m\) avec \(n\) et \(m\) des entiers impairs. Le but de cette partie est de déterminer la valeur \(S_{\text {max }}\) que peut prendre \(S\) sur l'ensemble des tableaux de taille \(n \times m\) possibles.
3. Que vaut \(S_{\text {max }}\) si \(n=1\) ? Et si \(m=1\) ?

On suppose désormais que \(n \geq 3\) et \(m \geq 3\).
4. \(\boldsymbol{a}\). Montrer qu'il est impossible, pour un tableau donné, que toutes les lignes soient blanches-dominantes et toutes les colonnes hachurées-dominantes simultanément (on pourra raisonner sur le nombre de cases du tableau).
b. En déduire que \(S 5. Dans cette question, on suppose que \(S=n+m-1\). On écrit \(n=2 a-1\) et \(m=2 b-1\).
a. Justifier que \(a \geq 2\) et \(b \geq 2\).