Sujet
On considère des triangles à tête inversée construits de la manière suivante : pour un entier \(n\) donné, on écrit sur la première ligne tous les nombres de 1 à \(n\), puis pour les autres lignes, chaque nombre est égal à la somme des deux nombres juste au-dessus de lui dans la ligne précédente.
Par exemple pour \(n=3\), on obtient le triangle suivant :
- Construire le triangle pour \(n=5\).
- On se place dans le cas \(n\) quelconque supérieur ou égal à 3 .
a. Déterminer la deuxième ligne du triangle.
b. Déterminer la troisième ligne du triangle.
c. Expliquer pourquoi le premier terme de la ligne numéro \(p\) vaut \((p+1) 2^{p-2}\).
d. Calculer la valeur à la pointe du triangle.
On modifie la première ligne : le premier nombre vaut 2, puis chaque nombre est obtenu en multipliant le nombre de gauche par 2. Pour les autres lignes, chaque nombre est égal au produit des deux nombres juste au-dessus de lui dans la ligne précédente.
3. Construire le triangle pour \(n=3\).
4. Déterminer sans calcul la valeur à la pointe du triangle pour \(n=5\). Comment généraliser ?
On modifie la première ligne : le premier nombre vaut 1, puis chaque nombre est obtenu en multipliant le nombre de gauche par \(q\), pour \(q\) un réel fixé. Pour les autres lignes, chaque nombre est égal à la somme des deux nombres juste au-dessus de lui dans la ligne précédente.
5. Déterminer la valeur à la pointe du triangle pour \(n\) quelconque supérieur ou égal à 3 .
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