Exercice 2 — les macarons

Sujet

Série S

Un pâtissier désire faire une présentation en boîtes de ses macarons.

1. Ses macarons ont la forme de disques de rayon 2 cm . Il pense à une première façon de les présenter, par six, dans des boîtes rectangulaires, avec la disposition ci-contre.
   a. Donner les dimensions de la boîte.
   b. Quelle proportion de l'aire de la boîte l'ensemble des macarons occupe-t-il ?
   

On donnera une valeur exacte de cette proportion et une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.
2. Afin de minimiser l'espace perdu, notre pâtissier souhaite combler les espaces vides par des macarons circulaires de trois tailles différentes comme sur la figure ci-contre (sur laquelle les disques en gris uni ont pour rayon 2 cm ).
a. Déterminer les trois rayons des macarons à confectionner.

b. Quelle proportion de l'aire de la boîte l'ensemble des macarons occupe-t-il ?

On donnera une valeur exacte de cette proportion et une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.
3. Notre pâtissier a l'idée de disposer cette fois ses macarons de rayon 2 cm en couronne autour d'un macaron central de rayon 2 cm et dans une boîte circulaire.
a. Quelle proportion de l'aire de la boîte l'ensemble des macarons occupe-t-il ?

On donnera une valeur exacte de cette proportion et une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.

Afin de minimiser l'espace perdu, notre pâtissier comble les espaces vides par des macarons de deux tailles différentes comme sur la figure ci-contre à gauche (sur laquelle les disques en gris uni ont pour rayon 2 cm ).
b. Quelle proportion de l'aire de la boîte l'ensemble des macarons occupe-t-il ?

On donnera une valeur exacte de cette proportion et une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.
4. Notre pâtissier souhaite tester une nouvelle présentation, dans une boîte de même rayon qu'au 2. ( 6 cm ), en disposant \(n(n \geq 3)\) macarons de même rayon, noté \(s_{n}\), autour d'un macaron central de rayon noté \(r_{n}\), comme sur la figure ci-contre.
a. Exprimer le rayon \(s_{n}\), commun aux macarons de la couronne, et le rayon \(r_{n}\) du macaron central, en fonction de \(n\).
b. Exprimer en fonction de \(n\) la proportion de l'aire de la boîte occupée par
l'ensemble des macarons.
c. À l'aide de la calculatrice, émettre des conjectures répondant aux questions suivantes :