Exercice 1 — Suite modulo 10

Sujet

La suite infinie

\[ 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8, \ldots \]

ne comprend que des nombres appartenant à l'ensemble \(\{0,1,2, \ldots, 9\}\) et est construite de la manière suivante : après le quatrième terme, chaque nouveau terme s'obtient comme le chiffre des unités de la somme des quatre termes précédents.

1. Quels sont les \(11{ }^{\mathrm{e}}\) et \(12^{\mathrm{e}}\) termes de cette suite ?
2. a. Proposer un algorithme permettant de calculer le \(n^{\mathrm{e}}\) terme de la suite.
   b. Programmer l'algorithme précédent sur votre calculatrice pour calculer le \(500^{\mathrm{e}}\) terme de cette suite.
3. a. Que peut-on remarquer quant à la parité des termes de la suite ?
   b. La séquence de termes « 2 , 0 , 1 , 7 » peut-elle apparaître au sein de cette suite ?
4. Étude de la périodicité.
   a. Démontrer que cette suite est périodique à partir d'un certain rang.
   b. Proposer un algorithme permettant de déterminer la période de cette suite et la calculer.

Concernant la programmation des algorithmes sur calculatrice, on rappelle l'existence des fonctionnalités suivantes :

• Calculatrice Texas Instrument : la fonction reste(a, b) renvoie le reste de la division de a par b. Cette fonction est accessible via le menu « NBRE » auquel on accède via la touche « math ».
• Calculatrice Casio : la fonction MOD(a, b) renvoie le reste de la division de a par b. Cette fonction est accessible via le menu « NUM » auquel on accède via la touche « OPTN ».