Exercice 3 — Dessine-moi un nombre

Sujet

Toutes séries

L'algorithme ci-dessous permet de tracer des figures à l'aide des chiffres formant l'écriture décimale d'un nombre.
Il faut fournir à l'algorithme un nombre décimal \(x\) tel que \(0 \leq x<10\). Le nombre \(x\) est écrit sous la forme \(u_{0}, u_{1} u_{2} u_{3} \ldots u_{n}\). Le chiffre \(u_{i}\) représente ainsi la ième décimale et le chiffre \(u_{0} u_{0}\) la partie entière du nombre \(x\).
L'algorithme déplace une « tortue » qui trace la figure. Un exemple est proposé en fin d'énoncé.

\(i \leftarrow 0\)

Tant que \(u_{i}\) existe :
Tourner la tortue de l'angle indiqué dans le tableau en fonction de la valeur de \(u_{i}\) Avancer la tortue d'une unité

\[ i \leftarrow i+1 \]

Fin Tant que

Valeur de \(u_{i}\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Angle	\(0^{\circ}\)	\(0^{\circ}\)	\(45^{\circ}\)	\(45^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)	\(135^{\circ}\)	\(135^{\circ}\)	\(180^{\circ}\)	\(180^{\circ}\)
Orientation			gauche	droite	gauche	droite	gauche	droite

Partie I

1. Tracer la figure obtenue en fournissant le nombre 0,3333722 .
2. Proposer un nombre à fournir en entrée à l'algorithme pour obtenir la figure ci-contre.

En existe-t-il d'autres ?
3. Tracer la figure obtenue en fournissant le nombre 3,5454 .

Partie II

1. On note \(\boldsymbol{s}\) le nombre \(\mathbf{3}, \mathbf{5 4 5 4 5 4} \ldots\) où le soulignement et les pointillés signifient que 54 est répété indéfiniment.
   a. Résoudre l'équation : \((\boldsymbol{x}-\mathbf{3}) \times \mathbf{1 0 0}-\mathbf{5 4}=\boldsymbol{x}-\mathbf{3}\) puis vérifier que le nombre \(\boldsymbol{s}\) est solution de cette équation.
   b. En déduire l'écriture de \(\boldsymbol{s}\) sous forme de fraction.
   c. Cette fraction permet d'obtenir la figure de la question 3. de façon illimitée.
2. Tracer la figure obtenue avec la solution de l'équation : \((\boldsymbol{x}-\mathbf{5}) \times \mathbf{1 0}^{\mathbf{6}}-\mathbf{6 5 5} \mathbf{5 6 0}=\boldsymbol{x}-\mathbf{5}\).

On souhaite obtenir la figure ci-contre qui se continue de façon illimitée (cette figure s'appelle une grecque).
a. Donner l'écriture décimale d'un nombre à fournir à l'algorithme pour obtenir cette figure.
b. En déduire l'écriture fractionnaire de ce nombre.

Exemple

Si on fournit le nombre 3, 147

\[ u_{0}=3 \]

On tourne de \(45^{\circ}\) Sans tourner, on vers la droite pour obtenir :

\[ u_{1}=1 \]

Sans tourner, on
avance d'une
unité

\[ u_{2}=4 \]

On tourne de \(90^{\circ}\) vers la gauche et on avance d'une unité

On tourne de \(135^{\circ

\) vers la droite et on avance d'une unité}

A partir du nombre 3,147, on obtient donc la figure :

\[ u_{3}=7 \]