Exercice 2 — Le nageur et son chien

Sujet

Un nageur se situe au centre \(O\) d'un étang circulaire de rayon \(R\) (exprimé en mètres). Au bord de l'étang l'attend un chien. Le chien et le nageur se déplacent à vitesse constante. Le chien court à la vitesse \(V\) en \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) et le nageur nage à la vitesse \(v\) en \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\). On suppose \(v

Les déplacements du chien s'effectuent de la façon suivante :

Si, lorsque le chien regarde le point O le nageur se trouve situé à sa droite, le chien ira vers la droite en suivant le bord de l'étang. Sinon, il ira vers la gauche en suivant le bord de l'étang.

Si le chien, le point \(O\) et le nageur sont alignés dans cet ordre, ou si le point \(O\) et le nageur sont confondus, le chien ira vers la droite.

Dans le cas particulier ou le chien, le nageur et point O sont alignés dans cet ordre le chien ne bougera pas.

Le nageur souhaite atteindre le bord de l'étang en un point quelconque avant que le chien n'atteigne ce point. Le plan est rapporté à un repère ( \(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ) tel qu'au début de la poursuite, le chien se trouve au point \(A=(R, 0)\) et le nageur au point \(O(0,0)\). On notera \(c\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\).

Stratégie \(\mathbf{n

^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{1}\)} Le nageur se dirige en ligne droite vers la rive pour rejoindre le point \(A^{\prime}(-R, 0)\).
Partie A On suppose que l'étang a un rayon de 100 m .

1. On se place dans le cas où \(v=1\) et \(V=3\)
   a. Faire une figure en représentant le cercle \(c\), le point \(A\), le point \(A^{\prime}\) et le trajet du nageur.
   b. Le chien rattrapera-t-il le nageur ? Justifier la réponse.
2. On se place dans le cas où \(v=1\) et \(V=4\). Le chien rattrapera-t-il le nageur ?

Partie B On se place dans un étang de rayon \(R\) quelconque
3. Faire une figure. Quel sera, en fonction de \(v\) et de \(R\), le temps mis par le nageur pour atteindre la rive ?
4. Comment le chien se déplacera-t-il ? Quel sera, en fonction de \(V\) et de \(R\), le temps qu'il mettra pour atteindre \(A^{\prime}\) ?
5. Que pensez-vous de cette stratégie en fonction des valeurs du rapport \(\frac{V}{v}\) ?
6. Le nageur a-t-il intérêt à prendre cette stratégie si \(V=4 v\) ?

Stratégie \(\mathbf{n

^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{2}\)} On note : \(r^{\prime}=\frac{v}{2 V} R, F\) le point de coordonnées ( \(0,-2 r^{\prime}\) ), \(O^{\prime}\) le point de coordonnées ( \(0 ;-r^{\prime}\) ).
Le nageur parcourt tout d'abord le demi-cercle \(c^{\prime}\) de centre \(O^{\prime}\) et de rayon \(r^{\prime}\) dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, en partant de \(O\) pour atteindre \(F\). Il rejoint ensuite le point \(G(0 ;-R)\).
Dans cette partie, \(v=1\) et \(V=2\).
7. Faire une figure en indiquant clairement le trajet suivi par le nageur. Quelle est la longueur de ce trajet ? Le chien rattrapera-t-il le nageur ?
8. Dans le cas général, exprimer en fonction de \(R, v, V\) le temps que mettra le nageur pour atteindre la rive en suivant ce trajet.
9. Soit N un point quelconque situé sur le demi-cercle \(c^{\prime}\). On note \(C\) le point d'intersection du cercle \(c\) avec la demi-droite \([N O)\) et on considère les angles \(\alpha=\widehat{A O C}\) et \(\beta=\widehat{O O^{\prime} N}\).
a. Montrer que \(\alpha=\widehat{O F N}\) puis que \(\beta=2 \alpha\).