Exercice 1 — Les n-pyramides

Sujet

Séries autres que S

On place des briques comme ci-contre de manière pyramidale.
On appelle \(n\)-pyramide une pyramide à \(n\) lignes telle que :

• Chaque brique contient un nombre entier non nul
• Tout nombre inscrit sur une brique est égal à la somme des deux nombres des deux briques inférieures adjacentes.
  Voici un exemple de 4-pyramide :
  
  

L'objectif de cet exercice est de s'intéresser aux nombres de façons de compléter certaines n -pyramides.
Dans cet exercice, les trois parties sont indépendantes.

Partie 1 : Les 3-pyramides

On considère les 3-pyramides incomplètes suivantes :

1. Recopier sur votre copie un exemple de chacune de ces deux 3-pyramides correctement complétées.
2. Montrer qu'il existe une infinité de façons de compléter la 3 -pyramide \(\mathrm{n}^{\circ} 1\).
3. Montrer que le nombre de façons de compléter la 3-pyramide \(\mathrm{n}^{\circ} 2\) est fini.
4. On considère une 3-pyramide contenant les nombres \(\mathbf{2 4}\) et \(\mathbf{9}\).

Déterminer les positions possibles des nombres 24 et 9 permettant d'obtenir une infinité de façons de compléter la 3-pyramide ainsi créée.
5.

Partie 2 : Les 4-pyramides

On considère la 4-pyramide incomplète ci-contre où \(a, b\) et \(c\) sont des entiers non nuls.
5. On cherche à déterminer l'ensemble des nombres
\(a, b\) et \(c\) permettant de compléter cette 4-pyramide.
a. Recopier un exemple de cette 4-pyramide correctement complétée. Justifier votre réponse.
b. Justifier que \(a, b\) et \(c\) doivent vérifier le système :

\(\left\{\begin{array}{c}b+c=9 \\ 2 a+b=17\end{array}\right.\)
c. Déterminer alors les triplets ( \(a, b, c\) ) permettant de compléter cette 4-pyramide.