Exercice 3 — De l'arithmétique lunatique

Sujet

Entrons dans un monde étrange où les additions et les multiplications sont différentes de celles que nous avons apprises à l'école primaire ...
Dans ce sujet, les nombres considérés seront des nombres entiers positifs ou nuls.

Partie A : Définitions et premiers exemples

Définitions

L'addition lunatique ⊕ consiste à poser l'addition comme en classe de primaire. Puis pour l'effectuer, on prend dans chaque colonne, le chiffre le plus grand.

La multiplication lunatique © se pose aussi, au départ, comme en primaire. Puis, lors du calcul, les multiplications intermédiaires consistent à prendre le plus petit des deux chiffres, puis pour les additions, à utiliser l'addition lunatique.

Exemples avec des nombres à un chiffre

\(3 \bigoplus 5=5 \quad 4 \oplus 4=\) 4
\(3 \bigoplus 4 \oplus 5=5\)

\(2 \otimes 8=2 \quad 7 \otimes 7=7\)

Exemples avec des nombres à plusieurs chiffres

	1	2	7	5	3
\(\oplus\)		6	7	2	9
	1	6	7	5	9

Donc \(12753 \oplus 6729=\) 16759.

			2	4	1
		\(\otimes\)		5	8
			2	3	1
\(\bigoplus\)		2	4	1	7
\(\oplus\)	2	4	1	5	.
	2	4	4	5	7

Donc \(2417 \otimes 583=244573\)

Calculer \(1914 \oplus 2018\).
Calculer \(1789 \otimes 732\) puis \(732 \otimes 1789\). Que remarque-t-on ?
Calculer \(43 \otimes(25 \oplus 71)\) et \((43 \otimes 25) \oplus(43 \otimes 71)\). Que remarque-t-on ?
Trouver un nombre entier \(\alpha\) tel que pour tout entier \(n, \alpha \oplus n=n\).
Trouver un nombre entier \(\beta\) tel que pour tout entier \(n, \beta \otimes n=n\).
On a vu que \(2417 \otimes 583=244573\). Trouver deux autres entiers \(m\) et \(n\) tels que \(m \otimes n=244573\) en utilisant, dans l'écriture de \(m\) et \(n\), seulement les chiffres du résultat 244573 , c'est-à-dire \(2,3,4,5\) et 7 .

Partie B : Des surprises lunatiques

Nombres pairs lunatiques

Soit \(n\) un entier.
a. Calculer \(n \oplus n\).
b. A-t-on \(n \oplus n=2 \otimes n\) ?
8. Carrés lunatiques
a. Calculer \(n \otimes n\) pour \(n\) entier allant de 0 à 20 .
b. Donner la liste des carrés lunatiques de \(n\) pour \(n\) allant de 0 à 20 .
9. Equations lunatiques

Déterminer, s'ils existent, tous les entiers \(n\) tels que :
a. \(75 \bigoplus n=76\),
b. \(12 \otimes n=26\),
c. \(16 \otimes n=165\).

Exercice 3 — De l'arithmétique lunatique

Sujet

Partie B : Des surprises lunatiques

Partie C : Nombres premiers lunatiques