Sujet
Un nombre premier est un nombre entier positif possédant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Par exemple : \(2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; \ldots\) sont des nombres premiers.
Tout jeune, Léonard s'intéresse déjà aux nombres premiers.
Depuis quelques jours, il se pose des questions sur ceux pouvant s'écrire sous la forme \(x^{2}-5 x+c\), où \(x\) et \(c\) sont des nombres entiers positifs. Il vient à votre rencontre afin de partager avec vous le fruit de ses réflexions.
Partie A
« Bonjour ! En complétant le tableau ci-dessous, j'ai trouvé quatre nombres premiers \(p\) du type \(p=x^{2}-5 x+1\) qui peut aussi s'écrire \(p=x(x-5)+1\), avec \(x\) entier dans l'intervalle [9; 16]. »- Recopier et compléter le tableau afin de confirmer les résultats de Léonard.
| \(x\) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| \(x-5\) | ||||||||
| \(x(x-5)\) | ||||||||
| \(x(x-5)+1\) |
Partie B
- «Je me demande aussi s'il existe des nombres premiers \(p\) de la forme \(p=x^{2}-5 x+2\), avec \(x\) entier dans l'intervalle [9; 16] . » Quelle sera la conclusion de Léonard ?
- Plus généralement, existe-t-il des nombres premiers \(p\) de la forme \(p=x^{2}-5 x+c\), lorsque \(x\) est un entier positif quelconque et \(c\) un nombre pair ?
Partie C
Considérant maintenant le cas où \(c\) est impair et vaut \(c=11\) avec \(x\) entier positif quelconque, Léonard poursuit :4. «J'ai réussi à prouver que si \(p\) est un nombre premier de la forme \(p=x^{2}-5 x+15\) alors \(x\) ne peut être ni de la forme \(3 k\), ni de la forme \(3 k+2\) avec \(k\) entier. »
Montrer que si \(x\) s'écrit de la forme \(x=3 k\) ou \(=3 k+2\), avec \(k\) entier, alors \(x^{2}-5 x+15\) n'est pas un nombre premier.
5. «Si \(p=x^{2}-5 x+15\) est un nombre premier, il ne reste donc qu'une seule façon d'écrire \(x\).» Quelle est cette forme?
Partie D
Considérons désormais le cas où \(c=11\) avec \(x\) positif quelconque. Léonard se réjouit : « Oh, quelle figure intéressante ! J'ai tracé un demi-cercle de diamètre [OB] de longueur 5, sur lequel j'ai placé un point \(M\) et j'ai nommé \(H\) le point de [OB] tel que \((O H)\) et (HM) soient perpendiculaires. » «Le théorème de Pythagore m'a permis d'établir la relation : \(2 M H^{2}=O B^{2}- O H^{2}-H B^{2}\). J'en ai déduit que : \(M H^{2}=O H \times H B\) ».6. Retrouver les deux égalités établies par Léonard.
7. «En notant \(x\) la distance \(O H\), j'ai trouvé quelle valeur numérique donner
à MH pour que la relation \(M H^{2}=O H \times H B\) soit équivalente à l'équation \(x^{2}-5 x+11=7\).
a. Exprimer \(O H \times H B\) en fonction de \(x\).
b. Retrouver la valeur de \(M H\) dont parle Léonard.
8. «Je viens de découvrir comment construire, sans calcul, les solutions de l'équation \(x^{2}-5 x+11=7\).» Expliquer comment Léonard a fait.
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