Exercice 1 — Des étoiles magiques

Sujet

Série S

Les nombres entiers de 1 à 6 doivent être placés, chacun exactement deux fois, dans les douze cases de l'étoile, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des cinq nombres situés dans chacune des six directions (sens de la flèche) ont la même valeur \(S\), on dit que l'étoile est \(S\)-magique. C'est à dire si : \(n_{3}+n_{9}+n_{8}+n_{7}+n_{1}=n_{4}+n_{10}+n_{11}+n_{12}+n_{6}=S\) et

\[ \begin{aligned} & n_{2}+n_{8}+n_{7}+n_{12}+n_{6}=n_{3}+n_{9}+n_{10}+n_{11}+n_{5}=S \text { et } \\ & n_{1}+n_{7}+n_{12}+n_{11}+n_{5}=n_{2}+n_{8}+n_{9}+n_{10}+n_{4}=S . \end{aligned} \]

On se propose de déterminer des étoiles \(S\)-magiques.

1. On considère une étoile \(S\)-magique et on appelle \(T\) la somme des nombres placés sur les six sommets de l'étoile \(\left(T=n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}+n_{6}\right)\).
   a. Prouver qu'on a: \(126-T=6 S\).
   b. Justifier que \(12 \leq T \leq 30\) et en déduire qu'on a \(16 \leq S \leq 19\).
   c. Donner la liste des quatre couples ( \(S, T\) ) ainsi envisageables, c'est-à-dire les couples qui satisfont à la question
   \(\boldsymbol{a}\). et à la question \(\boldsymbol{b}\).
2. On considère toujours une étoile \(S\)-magique et on s'intéresse aux trois couples ( \(n_{1}, n_{4}\) ), ( \(n_{2}, n_{5}\) ) et ( \(n_{3}, n_{6}\) ) formés par des nombres de sommets opposés.
   a. Montrer que: \(n_{1}+n_{4}=n_{2}+n_{5}=n_{3}+n_{6}\).
   b. Montrer que, pour chacun des trois couples \(\left(n_{1}, n_{4}\right),\left(n_{2}, n_{5}\right)\) et \(\left(n_{3}, n_{6}\right)\), les entiers qui les forment sont de même parité (c'est-à-dire tous les deux pairs ou tous les deux impairs).
   c. Montrer qu'il existe au moins deux nombres égaux parmi les nombres placés sur les six sommets.
3. On suppose que \(n_{2}=n_{3}\) et \(n_{1}=n_{4}\).
   a. Montrer que \(n_{7}=n_{10}\) et \(n_{8}+n_{12}=n_{9}+n_{11}\)
   b. Donner une étoile \(S\)-magique pour \(S=16, S=17, S=18\) et \(S=19\)
4. Donner une étoile \(S\)-magique dans le cas où \(n_{1} \neq n_{4}\).