Exercice 3 — Rencontres sportives

Sujet

Des jeunes de l'île de Mayotte se retrouvent sur la plage pour des rencontres sportives. Ils sont moins de 250 . Les organisateurs souhaitent constituer des équipes. Il apparaît que :

• S'ils constituent des équipes de 5, alors il reste 4 participants sans équipe.
• S'ils constituent des équipes de 6, alors il reste 5 participants sans équipe.
• S'ils constituent des équipes de 7, alors 6 n'ont pas d'équipe.

Rappel :

• On dit qu'un nombre entier \(a\) est un multiple d'un entier \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a=b \times k\).
• Par exemple 20 est un multiple de 4 ou 5 puisque \(20=4 \times 5\).
• La division euclidienne de 13 par 5 :

\[ \begin{array}{ll|l} 1 & 3 & 5 \\ \cline { 3 - 3 } & 3 & 2 \end{array} \]

Le nombre entier 13 est le dividende, 5 est le diviseur 2 est le quotient et 3 est le reste On a \(13=5 \times 2+3\). Donc \(13-3=5 \times 2=10\)
On note \(N\) le nombre de participants à ces rencontres sportives.

1. Si les participants sont par équipes de 5 , alors justifier que le nombre \(N-4\) est un multiple de 5 .
2. En déduire le chiffre des unités du nombre \(N-4\), puis de \(N\).
3. a. Si les participants sont par équipes de 6 , alors justifier que le nombre \(N-5\) est un multiple de 6 .
   b. En déduire le chiffre des unités du nombre \(N-5\).
4. a. Justifier que le chiffre des unités de \(N\) est 9 .
   b. Donner les valeurs possibles de \(N\).
5. En déduire la valeur de \(N\) sachant que si les participants sont par équipes de 7, il en reste 6.

NANCY－METZ

Exercice 1 ：Géométrie et Origami Toutes séries

Le mot＂origami＂désigne à la fois l＇art du pliage du papier et les objets réalisés par pliages successifs d＇une feuille de papier．Les constructions ainsi réalisées s＇appuient sur 6 règles，dont 4 seulement seront utilisées ici．On n＇utilise aucun instrument ：pas de règle，pas de compas，pas de rapporteur．

On dispose d＇une feuille de papier．A et B sont deux points distincts de cette feuille． On appelle pli le fait de plier la feuille suivant une ligne droite．
－Règle 1 ：un unique pli passe par A et B ．Il permet de construire la droite \((\mathrm{AB})\) ．
－Règle 2 ：un unique pli amène \(A\) sur \(B\) ．
－Règle 3 ：un pli au moins superpose deux droites（d）et（d＇）．
－Règle 4 ：un unique pli passe par un point A et est orthogonal à une droite（d）．
Un point est dit construit lorsqu＇il se trouve à l＇intersection de deux plis．

1．a．Sans justifier，dire quelle droite le pli de la règle 2 permet de construire．
b．Expliquer comment construire le milieu du segment［AB］．
2． ABC est un triangle．On admet qu＇un unique pli amène la demi－droite \([\mathrm{AB})\) sur la demi－droite \([\mathrm{AC})\) et que ce pli passe par le point A．Quelle droite ce pli permet－il de construire ？Justifier．
3．On considère la droite（d）et le point A de la figure ci－dessous．
a．Comment peut－on construire en un pli la droite（ \(\mathrm{d}^{\prime}\) ）orthogonale à la droite（ d ）passant par le point A ？
b．Comment peut－on construire en deux plis la droite（ \(\mathrm{d}^{\prime \prime}\) ）parallèle à（ d ）passant par A ？
c．Expliquer comment il est possible de construire un carré \(A O C B\) où \(O\) est le point d＇intersection des droites（d）et（d＇）．
d．Expliquer comment on peut construire un carré ACDE tel que le point E appartienne à la droite（d）．Que représente le point D par
rapport au point A et à la droite（d）？
4．La figure ci－dessous est un origami qui a été déplié．
－Les traits pleins représentent un pli＂montagne＂．
－Les traits ー ー ー ー ー ー 一 représentent un pli＂vallée＂．
－Les traits \(\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\) représentent un pli qui doit être marqué au cours de la construction mais sera déplié lorsque l＇origami sera terminé．
a．Découper le carré \(\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{2} \mathrm{C}_{2} \mathrm{D}\) ．
b．Expliquer，en nommant les points，dans quel ordre les plis doivent être effectués pour obtenir l＇origami，en précisant quelle règle on utilise．
c．Effectuer le pliage et rendre l＇origami avec la copie．Les points A et F sont donnés，ainsi que les quatre coins du carré．Seuls les plis représentés sont autorisés ；par contre，il est possible de construire un pli＂vallée＂，par exemple，puis plus tard de l＇inverser en pli＂montagne＂．