Exercice 2 — Chaînes de caractères

Sujet

Série S

On se propose de construire une suite de chaînes de caractères à partir de trois caractères « \(a\) », « \(b\) » et « \(c\) ».
La chaîne initiale est la chaîne formée du caractère \(a\). On note \(M_{0}=a\). Cette chaîne a pour longueur \(u_{0}=1\).
À chaque étape, la chaîne se transforme suivant les règles suivantes :

• Le caractère « \(a\) » se transforme en « \(b\) »
• Le caractère « \(b\) » se transforme en « \(c\) »
• Le caractère « \(c\) » se transforme en « \(a b\) ».

On désigne par \(M_{n}\) la chaîne obtenue à la \(n\)-ième étape, de longueur \(u_{n}\).
On a ainsi :

Étape \(n\)	Chaîne \(M_{n}\)	Longueur \(u_{n}\)
0	\(a\)	1
1	\(b\)	1
2	\(c\)	1
3	\(a b\)	2
4	\(b c\)	2
5	cab	3

1. Déterminer les chaînes \(M_{6,} M_{7,} M_{8}\) et leurs longueurs \(u_{6,} u_{7}, u_{8}\).
2. Montrer que, pour tout, \(u_{n+3}=u_{n+1}+u_{n}\).
3. Soit \(\left(q_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(q_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\).

Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 : \(q_{n+1}=\frac{1}{q_{n}}\left(1+\frac{1}{q_{n-1}}\right)\).
4. Écrire un algorithme permettant de calculer les 100 premiers termes de la suite ( \(q_{n}\) ).
5. On constate que, lorsque \(n\) est assez grand, les termes de ( \(q_{n}\) ) sont très proches. On considère qu'ils se rapprochent d'un réel \(\alpha\) vérifiant l'égalité \(\alpha=\frac{1}{\alpha}\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)\).
Montrer que \(\alpha\) est l'unique nombre réel vérifiant \(\alpha^{3}=\alpha+1\).
6. La racine cubique d'un nombre réel \(y\) est le seul réel \(x\) vérifiant \(x^{3}=y\). On utilise la notation \(x=\sqrt[3]{y}\) et on peut montrer que \(\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a b}\). Montrer que \(\alpha=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{23}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{23}{108}}}\)