Exercice 1 — De la plage de Sakouli à l'ilot de Brandélé

Sujet

Partie A : À contre-courant

Trois pirogues à balancier partent à 10 heures de la plage de Sakouli en direction de l'îlot de Bandrélé, distants de 2000 m . Il y a à l'aller un courant contraire.
Dans la suite, les temps sont indiqués en minutes et les longueurs en mètre.
Anliati navigue sur la première pirogue. Malheureusement, elle se fait mal au bras et doit s'arrêter quelques minutes pour mettre de la pommade. Elle termine sa traversée plus lentement.
Bibi navigue sur la deuxième pirogue. Elle rame, jusqu'à récupérer son ami Bacar, qui nageait dans le lagon. Ils continuent ensuite la traversée en ramant tous les deux.
Cama navigue sur la troisième pirogue. Celle-ci prend l'eau. Sa vitesse diminue au fur et à mesure du parcours. Sa distance à la plage de Sakouli est donnée par la formule \(d=-\frac{10}{9} x^{2}+100 x\) où \(x\) est en minutes et \(d\) en mètres.

En annexe, quatre graphiques vous sont proposés. A partir des informations de l'énoncé mettre un titre pour chacun des graphiques. Préciser les grandeurs et les unités sur chacun des axes.
Il y a deux vitesses de parcours pour les deux premières pirogues. Une avant qu'elles ne s'arrêtent puis une deuxième quand elles repartent. Recopier et compléter le tableau suivant :

	Vitesse sur la première partie du parcours, en \(\mathbf{m} / \mathbf{m i n}\)	Vitesse sur la deuxième partie du parcours, en \(\mathbf{m} / \mathbf{m i n}\)
Première pirogue
Deuxième pirogue

a. Déterminer la vitesse moyenne de la troisième pirogue sur l'ensemble du parcours.
b. Déterminer sa vitesse en début de parcours et en fin de parcours.
Quelle est la vitesse du courant ?
Arrivés à l'îlot, Anliati s'arrête 12 minutes pour remettre de la pommade et souffler, Bibi et Bacar s'arrêtent 15 minutes pour regarder les photos que Bacar a prises sous l'eau, Cama s'arrête 18 minutes pour vider sa pirogue et boucher la fuite. Ensuite les pirogues reviennent à Sakouli, sans s'arrêter, chacun à la vitesse permise par la condition physique de leur(s) rameur(s). Quelle pirogue arrivera la première ?

Partie B : On y retourne !

Fatima part de la plage de Sakouli en pirogue et se dirige vers l'îlot de Bandrélé distant de 2 km. Lorsqu'il n'y a pas de courant, elle rame à la vitesse de \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Seulement, ce jour-là, il y a un courant contraire à l'aller. On se demande quelle est la vitesse de ce courant et on va chercher à la déterminer. Pour cela on appelle \(x\) la vitesse du courant en km/h.
a. Expliquer pourquoi \(x\) doit vérifier l'inégalité \(0 \leq x \leq 4\).
b. Démontrer que le temps mis par Fatima pour faire l'aller-retour est donné par : \(f(x)=\frac{2}{4-x}+\frac{2}{4+x}\).
c. Fatima a mis pour 1 h 20 pour faire l'aller-retour. Déterminer la vitesse du courant.
Le lendemain, Fatima part en même temps que Yassar qui rame à la vitesse de \(5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) en l'absence de courant. Il y a de nouveau un courant contraire de \(x \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
Fatima a mis \(40 \%\) de temps de plus que Yassar pour faire l'aller-retour. Trouver la vitesse du courant.
Youssouf décide de faire le même chemin. Il part de la plage de Sakouli en direction de l'îlot Brandélé et essaie de garder un cap précis. Il cherche à toujours rester à égale distance des extrémités de l'îlot. A un instant donné, il remarque que sa pirogue fait un angle de \(60^{\circ}\) avec les extrémités de l'île. 3 minutes plus tard, cet angle est de \(90^{\circ}\).
a. Faire une figure codée sur votre copie.
b. Dans combien de temps Youssouf va-t-il arriver ?
Une semaine plus tard, il y a un courant latéral de \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) vers la gauche. Damir part de Sakouli. Lorsqu'il n'y a pas de courant, il a une vitesse de \(5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
a. Faire une figure.
b. Quel point Damir doit-il viser pour garder une trajectoire rectiligne ? Quel temps mettra-t-il ?