Exercice 2 — les décimales qui bouclent Toutes séries (parties 1 et 2), différenciation pour la partie 3

Sujet

Les fractions unitaires

On appelle fraction unitaire, toute fraction dont le numérateur est 1 et dont le dénominateur est un entier positif non nul. Elle s'écrit sous la forme du quotient \(\frac{1}{n}\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
Le développement décimal du quotient \(\frac{1}{n}\) avec n entier naturel non nul, est de la forme \(\mathbf{0}\), \(\boldsymbol{a} \boldsymbol{b} \boldsymbol{c d} \ldots\) dans lequel \(a b c d \ldots\) est une succession de chiffres appelée partie décimale de ce quotient.
Cette partie décimale peut être finie \(\left(\frac{1}{4}=0,25\right)\) ou infinie \(\left(\frac{1}{3}=0,33333 \ldots\right.\) )
Ces deux écritures (quotient et développement décimal) se généralisent pour toute fraction non unitaire de la forme \(\frac{m}{n}\) où \(m\) et \(n\) sont des entiers naturels et \(n\) non nul.
Lorsque la partie décimale d'une fraction présente une partie répétitive, on nommera boucle le premier bloc de chiffres qui se répète dans la partie décimale. Pour signifier sa répétition infinie, cette boucle sera notée une seule fois en l'encadrant. Exemple : \(\frac{1}{44}=0,02272727 \ldots\) sera noté 0,0227

Partie 1 : Observations

1. On a détaillé les quatre premières étapes de la division de 1 par 14 : On poursuivra ainsi jusqu'à l'étape 10 mais en ne présentant sur la copie que l'étape qui donne 10 décimales au quotient, en ayant pris le soin d'entourer les restes successifs (c'est-à-dire 1 , puis 10 , puis 2 , puis 6 , puis ...)
2. Poser sous la même forme les divisions de 1 par 11 puis de 1 par 40 .
3. Que remarque-t-on quant aux parties décimales des quotients obtenus ?
   

Partie 2 : Démarche d'investigation
Ces fractions unitaires déclenchent inévitablement quelques interrogations

Interrogation A : Quelles sont les fractions unitaires qui ont des parties décimales finies?
Interrogation B : Les fractions unitaires qui ont une partie décimale infinie ont-elles toutes une boucle dans leur partie décimale?
Interrogation C : La boucle du quotient \(\frac{1}{n}\), lorsqu'elle existe, a-t-elle une longueur proportionnelle au dénominateur \(n\) du quotient correspondant ?
Interrogation \(\mathrm{D}_{-}\): La boucle du quotient \(\frac{1}{n}\) a-t-elle une longueur inférieure, égale ou supérieure à \(n\) ?
Interrogation E: Quelles sont les fractions, unitaires ou non, qui ont une boucle à un seul chiffre dans leur partie décimale?
Interrogation F : Si \(n>p\), le quotient \(\frac{1}{n}\) a-t-il une boucle plus longue que le quotient \(\frac{1}{p}\) ?
Il vous est demandé de répondre aux questions qui suivent. A l'issue des questions 1., 2. et 3. vous regarderez si les réponses obtenues permettent ou non de répondre à l'une ou l'autre des interrogations numérotées de \(A\) à \(F\) et vous expliquerez pourquoi, le cas échéant.

1. Donner le développement décimal de chacun des quotients suivants : \(\frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{37}\). On pensera à utiliser la notation avec l'encadré si nécessaire.