Sujet
On considère le jeu suivant, appelé « Jeu des Différences », jeu connu dans la littérature sous le nom du problème de
Ducci : sur les sommets d'un premier carré, on place les nombres d'un quadruplet ( \(a, b, c, d\) ) constitué d'entiers positifs : \((9,22,3,12)\) dans l'exemple ci-dessous.
On effectue ensuite une opération appelée DifférenceCarrée : pour chaque côté du carré, on calcule la différence positive ou écart entre les deux nombres \(a\) et \(b\) situés aux deux extrémités du côté considéré (c'est-à-dire \(a-b\) ou \(b-\) a selon les cas).
On réitère cette opération un certain nombre de fois et on dira que le jeu s'arrête si on obtient le "carré nul", ce qui signifie que les quatre entiers inscrits aux sommets de ce carré sont tous nuls.
Si le jeu s'arrête, on note \(N(a, b, c, d)\) le nombre de DifférenceCarrée nécessaire pour arriver au quadruplet ( \(0,0,0,0\) ).
Dans l'exemple ci-dessous, on a \(N(9,22,3,12)=4\).
On pose par convention : \(N(0,0,0,0)=0\).
On note également \(M=\operatorname{Max}(a, b, c, d)\) le plus grand des quatre nombres \(a, b, c, d\). Cette notation servira pour la suite du sujet.
Traitement d'un exemple
La suite de carrés dessinés ci-contre peut être représentée par le tableau ci-dessous :
| Quadruplet | Nombre de DifférenceCarrée | M | |||
| 9 | 22 | 3 | 12 | 0 | 22 |
| 13 | 19 | 9 | 3 | 1 | 19 |
| 6 | 10 | 6 | 10 | 2 | 10 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 |
Notion importante pour la suite :
Pour tout nombre réel \(x\), on appelle VALEUR ABSOLUE de \(x\) le nombre réel, noté \(|x|\) ou noté \(\operatorname{Abs}(x)\) dans un programme TI ou Casio, égal à \(x\) si \(x \geq 0\), et égal à \(-x\) sinon.Exemple, \(|3|=3\) et \(|-5|=5\) ou \(\operatorname{Abs}(3)=3\) et \(\operatorname{Abs}(-5)=5\).
Saisie sur la calculatrice : pour saisir la fonction VALEUR ABSOLUE, on procède de la manière suivante :
Calculatrice TI82 ou 83
précéd
précéd
entrer
Instruction importante pour la suite : Pour avoir le temps de relever des résultats lors du déroulement d'un programme, on peut y introduire une PAUSE.
Saisie sur la calculatrice : Pour insérer une PAUSE dans un programme, on procède de la manière suivante :
Calculatrice TI82 ou TI83
Calculatrice Casio
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