Exercice 3 — Séquence cardio

Sujet

On rappelle que \(1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) (somme des \(n\) premiers naturels)
Karim est un sportif. Il reprend l'entrainement après une blessure, et il veut fractionner temps d'effort et temps de repos.

Une séquence d'entrainement « pyramidale de degré n » (n entier naturel non nul) est une alternance d'épisodes d'effort et d'épisodes de repos, commençant par un épisode d'effort et se terminant par un épisode de repos.

Les épisodes de repos ont tous la même durée : \(k\) minutes.

Par contre, les durées des épisodes d'effort croissent d'une minute à \(n\) minutes par pas d'une minute, puis décroissent jusqu'à une minute, toujours par pas d'une minute. La première durée d'effort est de 1 minute.

Par exemple, dans une séquence pyramidale de degré 3 , les durées des épisodes d'effort sont : \(1,2,3,2,1\) minutes, dans cet ordre.

Partie A

Dans cette partie, la durée du repos est d'une minute ( \(k=1\) ).

1. a. Vérifier que la séquence pyramidale de degré 3 donnée dans l'exemple ci-dessus dure 14 mn .
   b. Déterminer la durée d'une séquence d'entrainement pyramidale de degré 4 .
2. a. Montrer, à l'aide de la formule rappelée en début d'énoncé, que dans une séquence d'entrainement pyramidale de degré \(n\), la durée totale des périodes d'effort est égale à \(n^{2}\) minutes.
   b. En déduire qu'une séquence d'entrainement pyramidale de degré \(n\) dure \(n^{2}+2 n-1\) minutes.
3. a. Existe-t-il une séquence pyramidale qui dure exactement 1 heure ?
   b. Quel est le degré de la séquence pyramidale qui dure 15 minutes de plus que celle du degré précédent ?

Partie B

Dans cette partie, la durée du repos est de \(k\) minutes.

1. Montrer qu'une séquence pyramidale de degré 4 dure \(16+7 k\) minutes.
2. Notre sportif entreprend une séquence d'entraînement pyramidale de degré \(n\).
   \(\boldsymbol{a}\). Exprimer le temps total de repos en fonction de \(n\) et \(k\).
   b. Exprimer en fonction de \(n\) la durée \(k\) du repos pour que le temps total de repos soit égal à la moitié du temps de course au degré suivant.
   c. Quelles sont les valeurs de \(n\) entre 1 et 50 pour lesquelles le temps \(k\) obtenu à la question précédente est un nombre entier ?