Exercice 2 — Faites vos jeux

Sujet

Série S

Un candidat participe à un jeu qui se décompose en deux épreuves. S'il échoue à l'épreuve \(\mathrm{n}^{\circ} 1\), il recommence cette épreuve, sinon il passe l'épreuve \(\mathrm{n}^{\circ} 2\).
S'il échoue à la seconde épreuve, il recommence l'épreuve \(\mathrm{n}^{\circ} 1\), sinon il a terminé le jeu.
On considère que la probabilité de réussir chacune des épreuves est de \(2 / 3\).
On note :

• \(p_{n}\) la probabilité se trouver à la première épreuve après \(n\) essais
• \(s_{n}\) la probabilité se trouver à la seconde épreuve après \(n\) essais
• \(\quad t_{n}\) la probabilité d'avoir terminé le jeu après \(n\) essais

Avec les notations ci-dessus on a donc \(p_{0}=1, s_{0}=0\) et \(t_{0}=0\).

1. Que valent \(p_{1}, s_{1}\) et \(t_{1}\) ?
2. Calculer \(p_{2}, s_{2}\) et \(t_{2}\).

Quelle est la probabilité de réussir les deux premières épreuves du premier coup ?
3. a. Montrer que pour tout entier \(n\),

\[ \left\{\begin{array}{l} p_{n+1}=\frac{1}{3} p_{n}+\frac{1}{3} s_{n} \\ s_{n+1}=\frac{2}{3} p_{n} \\ t_{n+1}=\frac{2}{3} s_{n}+t_{n} \end{array}\right. \]

b. Compléter l'algorithme ci-contre pour obtenir les valeurs de \(p_{n}, s_{n}\) et \(t_{n}\).

Remarque : on rappelle que la notation \(A \leftarrow k\) signifie « \(A\) prend la valeur \(k\) ».
4. Montrer que pour tout entier \(n\), la somme \(p_{n}+s_{n}+t_{n}\) est constante.
5. \(\boldsymbol{a}\). Exprimer pour tout entier \(n\), la différence \(p_{n+1}-s_{n+1}\) en fonction de \(p_{n}-s_{n}\). En déduire \(p_{n}-s_{n}\) en fonction de \(n\).
b. Exprimer de même, \(p_{n}+\frac{1}{2} s_{n}\) en fonction de \(n\).

\(p \leftarrow \cdots\)
\(s \leftarrow \cdots\)
\(t \leftarrow \cdots\)
Pour \(i\) allant de 1 à \(n\)
    \(t \leftarrow \cdots\)
    \(a \leftarrow p / 3+s / 3\)
    \(s \leftarrow 2 \times p / 3\)
    \(p \leftarrow \cdots\)
Fin de Pour

c. En déduire que pour tout entier \(n\),

\[ t_{n}=1-\frac{4}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \]

1. a. Que peut-on conjecturer sur la probabilité de terminer ce jeu lorsque le nombre d'essais augmente ?
   b. Quel est le nombre minimal d'essais nécessaires pour que la probabilité d'avoir terminé le jeu dépasse \(99,9 \%\) ?