Olympiades · Académie Guadeloupe · 2018 · Toutes séries
Le dobble est un jeu dont les cartes ont une propriété remarquable :
Dans le même ordre d'idées, si \(n\) est un entier strictement positif, on va définir un \(n\) dobble, comme un jeu de cartes, dont les symboles sont les entiers \(1,2,3\), etc.... et qui va vérifier les propriétés suivantes :
On représentera les cartes entre crochets, avec les symboles (ici des nombres entiers) disposés verticalement, par ordre croissant de haut en bas.
Par exemple, voici un 2 -dobble : \(\quad\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]\)
En effet, chaque carte contient 2 symboles, chaque symbole apparaît 2 fois, et si on prend 2 cartes parmi les 3 , elles ont un seul symbole en commun.
Donner un jeu de 3 -dobble, dont les 3 premières cartes sont : \(\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 6 \\ 7\end{array}\right]\)
2. On considère un entier strictement positif \(n\), et on suppose qu'il existe un jeu de \(n\)-dobble.
a. Justifier qu'une carte qui ne comporte pas le symbole « 1 » a un symbole en commun avec chacune de celles qui comportent un « 1 ».
b. En déduire que tous les symboles du jeu sont présents sur les n cartes qui comportent le symbole « 1 ».
c. En déduire le nombre de symboles dans un n-dobble.
d. En déduire qu'un \(n\)-dobble comporte ( \(n^{2}-n+1\) ) cartes.
e. Le jeu original (où les cartes comportent 8 symboles) compte 55 cartes. Est-ce alors un vrai 8-dobble au sens où on l'a défini ?
3. Donner un jeu de 4-dobble.
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