Exercice 4 — La parabole du jardinier Séries STI2D, STD2A

Sujet

On rappelle que le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite \(\Delta\) est le point d'intersection de la droite \(\Delta\) avec sa perpendiculaire passant par M . Par définition, la distance de M à \(\Delta\) notée \(\mathrm{d}(\mathrm{M} ; \Delta)\) est la distance MH .

On donne une droite \(\Delta\) et un point F non situé sur \(\Delta\).
R est le projeté orthogonal de F sur \(\Delta\).
On s'intéresse à \(\Gamma\) l'ensemble des points équidistants de F et de \(\Delta\).
U et V sont deux points situés respectivement sur \(\Delta\) et sur la demi-droite [RF), tous deux à une distance 12 cm de R . I est le milieu de [UV].

Partie A

1. a. Reproduire la figure avec \(\mathrm{RF}=2 \mathrm{~cm}\).
   b. Proposer trois points G , K et L appartenant à \(\Gamma\).

On admet qu'il existe un unique point \(\Omega\) situé sur \(\Gamma\) et \([U V]\).
2. a. Comparer les distances UF et \(\mathrm{d}(\mathrm{U} ; \Delta), \mathrm{VF}\) et \(\mathrm{d}(\mathrm{V} ; \Delta)\), IF et \(\mathrm{d}(\mathrm{I} ; \Delta)\). Sur quel segment semble être situé le point \(\Omega\) ?
b. En déduire un processus itératif permettant de construire des points de plus en plus proches du point \(\Omega\).
c. Conjecturer alors l'allure de \(\Gamma\).
3. On se place dans un repère orthonormal ( \(\mathrm{R} ; \vec{\imath}, \overrightarrow{\mathrm{RF}}\) ).
a. Montrer que si ( \(x ; y\) ) est le couple des coordonnées d'un point \(M\), alors \(M F b. Proposer un algorithme permettant de calculer des valeurs approchées des coordonnées de \(\Omega\).
c. Indiquer les valeurs obtenues avec votre calculatrice.

Partie B

On se place désormais dans un repère orthonormal dans lequel le point F a pour coordonnées ( \(0 ; 1\) ) et la droite \(\Delta\) a pour équation \(y=-1\).

1. Déterminer l'ordonnée du point de \(\Gamma\) d'abscisse 3 dans ce repère.
2. Montrer que dans ce repère la courbe \(\left\ulcorner\right.\) a pour équation \(y=\frac{1}{4} x^{2}\).

On note \(a\) un réel quelconque, A le point de coordonnées \(\left(a ; \frac{1}{4} a^{2}\right)\) et H son projeté orthogonal sur \(\Delta\).
3. Montrer que le milieu de \([\mathrm{FH}]\) est sur la tangente t à Γ en A .
a. La droite t coupe \(\Delta\) en T. Montrer que \(\widehat{\text { FAT }}=\widehat{\text { TAH }}\).
b. Cette propriété est à l'origine des paraboles permettant de capter les signaux de certaines chaînes de télévision. Expliquer pourquoi.

Partie C