Exercice 3 — Tablettes de chocolat Séries ES, L, STMG

Sujet

Partie 1.

Karim a une tablette de chocolat, avec \(m\) carrés dans un sens et \(n\) dans l'autre, donc \(m \times n\) carrés en tout.
On dira dans la suite qu'une telle tablette est de taille \(m \times n\).
Pour préparer un gâteau, il veut découper sa tablette en petits carrés de taille \(1 \times 1\).
Une découpe consiste à prendre un morceau et à le couper en deux.
Par exemple, si on a un morceau de taille \(2 \times 3\), on peut le couper pour obtenir deux morceaux de taille \(1 \times 3\), ou bien un morceau de taille \(2 \times 2\) et un de taille \(1 \times 2\).
On peut ensuite redécouper chacun de ces morceaux.

1. Combien de découpes sont nécessaires pour couper en carrés de \(1 \times 1\) si la tablette est :
   a. de taille \(2 \times 2\) ?
   b. de taille \(2 \times 3\) ?
   c. de taille \(2 \times 4\) ?
2. Soit \(p\) un entier.
   a. Combien de morceaux y a-t-il après \(p\) découpes?
   b. En déduire que, pour tous m et n , il faut exactement \(\mathrm{mn}-1\) découpes pour couper en carrés de \(1 \times 1\).

Partie 2.

Maintenant Karim utilise un couteau qui lui permet de couper plusieurs morceaux à la fois en les réalignant.
Par exemple si la tablette fait \(1 \times 4\), il peut d'abord couper deux morceaux de \(1 \times 2\), puis mettre ces morceaux l'un pardessus l'autre pour couper les deux morceaux restants de taille \(1 \times 2\) ensemble.
Il suffit donc de deux coupes dans cet exemple, au lieu de trois avant.

1. Combien de coupes suffisent pour couper en carrés de \(1 \times 1\) :
   a. une tablette de taille \(1 \times 8\) ?
   b. une tablette de taille \(1 \times 16\) ?
2. Montrer que pour couper une tablette de taille \(1 \times 2^{k}\) en carrés de \(1 \times 1\), il suffit de \(k\) découpes.
3. Montrer que réciproquement, pour couper une tablette de taille \(1 \times 2^{k}\) en carrés de \(1 \times 1\), un minimum de \(k\) découpes est nécessaire.
4. Quelle est la meilleure stratégie pour couper en carrés de \(1 \times 1\) une tablette de taille \(1 \times n\) ?
5. Quelle est la meilleure stratégie pour couper en carrés de \(1 \times 1\) une tablette de taille \(2 \times n\) ?