Exercice 2 — La trompette

Sujet

Partie A : le volume de la trompette

Un objet a la forme d'une « trompette » : un solide de révolution obtenu en faisant tourner autour de l'axe ( \(O x\) ) le morceau de parabole qui représente la fonction carré sur [ \(0 ; 1\) ] (Figure 1). On souhaite calculer le volume de cet objet. Pour obtenir une valeur approchée par excès du volume de

la trompette, on adopte le principe suivant : on partage le segment \([0 ; 1]\) en \(n\) parties égales, \(n\) étant un entier supérieur ou égal à 2 ; on construit des cylindres extérieurs à la trompette, comme l'indique la Figure 2 (cas où \(n=6\) )

1. a. Déterminer le rayon et la hauteur de chacun des deux premiers cylindres lorsque \(n=6\).
   b. Calculer le volume des deux premiers cylindres lorsque \(n=6\) puis dans le cas général, pour une valeur quelconque de \(n\) ( \(n\) étant un entier supérieur ou égal à 2 )
2. Concevoir un algorithme qui calcule et affiche la somme des volumes des \(n\) cylindres ainsi construits lorsqu'on saisit un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 .
3. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note \(V_{n}\) la somme des volumes des \(n\) cylindres construits comme indiqué précédemment. Démontrer que \(V_{n}=\frac{\pi}{n^{5}}\left(1+2^{4}+\cdots+n^{4}\right)\).
4. Calculer une estimation du volume de la trompette, obtenue à l'aide de la somme des volumes de 160 cylindres.

On arrondira le résultat au centième.

Partie B : des calculs de sommes

L'objectif de cette partie est de découvrir une méthode permettant le calcul direct de la somme \(1+2^{4}+\cdots+n^{4}\) qui intervient dans le calcul du volume de la trompette.

1. Pour un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , on considère la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls : \(\quad S_{n}=1+2+\cdots+n\).
   La figure ci-contre suggère une façon de calculer \(1+2+3+4\).
   Justifier que pour tout entier naturel \(n \geq 2, S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\)
   
   
2. Pour démontrer cette formule, on propose ci-après une autre méthode, intéressante car elle s'applique encore pour calculer d'autres sommes. Pour tout entier naturel \(n \geq 2\), on note \(C_{n}=1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}\).
   a. Justifier que pour tout entier \(n \geq 2, C_{n}=C_{n+1}-n^{2}-2 n-1\).
   b. On a pour tout entier \(n \geq 2\) :

\[ C_{n+1}=(0+1)^{2}+(1+1)^{2}+(2+1)^{2}+\cdots+((n-1)+1)^{2}+(n+1)^{2} . \]

Développer chaque carré, puis justifier que \(C_{n+1}=C_{n}+2 \times S_{n}+(n+1)\).
c. Déduire des questions précédentes la valeur de \(S_{n}\).
3. a. Soit \(k\) un entier naturel. Développer \((k+1)^{3}\).
b. En s'inspirant de la méthode décrite au 2., déterminer une formule permettant, pour tout entier \(n \geq 2\), de calculer rapidement la somme \(C_{n}=1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}\).
4. La même méthode permet de démontrer les résultats suivants, que l'on admettra : pour tout entier \(n \geq 2\)
\(1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2} \quad\) puis : \(\quad 1^{4}+2^{4}+\cdots+n^{4}=\frac{1}{5} n^{5}+\frac{1}{2} n^{4}+\frac{1}{3} n^{3}-\frac{1}{30} n\)
En déduire un calcul donnant l'approximation du volume de la trompette obtenue en utilisant 160 cylindres.