Exercice 1 — le Dobble

Sujet

Nous souhaitons créer un jeu de cartes. Sur chaque carte seront représentés un certain nombre de symboles de manière que sur deux cartes quelconques figurent toujours un symbole commun et un seul.
Pour un jeu de trois cartes, on peut par exemple utiliser les symboles \(A\), \(B\) et \(C\), et les cartes \(A B\), \(A C\) et \(B C\). Dans cet exemple : 3 symboles ont été utilisés, il y a 2 symboles par carte et chaque symbole apparaît sur deux cartes. L'ordre des symboles n'est pas pris en compte, ainsi AB et BA désignent la même carte.

Un jeu respectant les critères suivants sera dit « jeu valide » :
C1 : deux cartes quelconques disposent toujours d'un symbole commun et un seul
C2 : chaque symbole apparaît au moins deux fois dans le jeu
C3 : chaque symbole doit apparaître le même nombre de fois sur l'ensemble du jeu de cartes
C4 : le nombre de symboles par carte doit être le même pour toutes les cartes
C5 : une carte ne peut contenir deux fois le même symbole.
Nous noterons :
\(s\) le nombre de symboles utilisés ; dans toute la suite, ces symboles seront notés \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \ldots\).
\(u\) le nombre de cartes utilisant un symbole donné.
\(p\) le nombre de symboles présents sur chaque carte
c le nombre de cartes dans le jeu.

Découverte

1. Les trois jeux suivants ne sont pas des jeux «valides ». Expliquer à chaque fois pourquoi :

Jeu 1 : \(A B D\); \(A C E\); \(B C F\) Jeu 2 : \(A B C\); \(A D E\); \(B D F\); FAG; GBE Jeu 3 : \(A B C\); \(A B D\); \(D C\)
eut-on fabriquer un « jeu valide » de quatre cartes avec seulement deux ymboles par carte?	CHIJ ABCD

Le cas \(\boldsymbol{u

=\mathbf{2}\)}

1. Compléter le jeu de trois cartes proposé en exemple pour obtenir un jeu valide de quatre cartes où \(u=2 ; s=6\) et p = 3. : Carte 1 : A B ... Carte 2 : A C ... Carte 3 : B C ... Carte 4 : ... ... ...
2. Chaque symbole n'apparaissant que deux fois dans le jeu, proposer une expression du nombre \(c\) de cartes en fonction de \(p\). Conjecturer également une expression de \(s\) en fonction de \(p\).
3. Toujours dans le cas où \(u=2\), on suppose construit un jeu de \(n\) cartes.

Ecrire un algorithme permettant de compléter ce jeu en un jeu de \(n+1\) cartes.
On pourra écrire cet algorithme en français en utilisant l'instruction : « ajouter le symbole \(\mathrm{n}^{\circ} \mathrm{i}\) à la carte \(\mathrm{n}^{\circ} \mathrm{j}\) ».

Le cas général

Dans cette partie, on considère un jeu valide de c cartes.

1. On recherche dans cette question des relations entre les nombres \(c, s, u\) et \(p\).
   a. Exprimer de deux façons différentes le nombre de couples de cartes.
   b. Exprimer de deux façons différentes le nombre total de symboles dessinés dans le jeu.
   c. En déduire les deux formules suivantes : \(c=\mathrm{p}(\mathrm{u}-1)+1\) et \(s=\frac{\mathrm{cp}}{\mathrm{u}}\).
2. Justifier qu'il n'existe pas de « jeu valide » de 8 cartes avec \(u=3\).
3. Montrer que le triplet \((s, u, p)=(14,6,4)\) ne permet pas de construire un « jeu valide» de 21 cartes.

Que peut-on en conclure par rapport aux formules précédentes?