Exercice 2 — une partie de billard

Sujet

On frappe une boule placée à l'un des quatre coins d'une table de billard. On se propose d'étudier le parcours effectué par celle-ci. On fait les hypothèses suivantes :

• La boule est assimilée à un point.
• La boule garde une vitesse constante et ne s'arrête que si elle revient à son point de départ.
• La trajectoire est rectiligne entre deux rebonds (le parcours est assimilé à une ligne brisée).
• Le premier segment de cette ligne brisée fait un angle de \(45^{\circ}\) avec les bords du billard.
• La boule rebondit sur les bords de la table en respectant la loi de Snell-Descartes (les angles incidents et réfléchis sont de même mesure).
• Lorsque la boule rebondit dans un coin de la table autre que le point de départ, elle repart en arrière.

Modélisation Soit \(n\) et \(p\) deux entiers naturels non nuls.
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( \(A ; I ; J\) ).
Soit \(A B C D\) le rectangle où \(A(0 ; 0), B(n ; 0), C(n ; p)\) et \(D(n ; p)\).
La boule part de \(A(0 ; 0)\). On note \(A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) les points à coordonnées entières successifs de la trajectoire. Ainsi, lorsque \(n=5\) et \(p=3\) (voir figure ci-contre) on a \(A_{0}(0 ; 0), A_{1}(1 ; 1), A_{2}(2 ; 2), \ldots\)

Partie A

1. On suppose que \(n\) et \(p\) ont un diviseur commun strictement supérieur à 1 .
   a. Prouver que le rectangle \(A B C D\) peut être pavé à l'aide de carrés identiques de côtés de longueur entière strictement supérieure à 1 .
   b. Quelle est la longueur maximale des côtés de ces carrés ?
2. Expliquer pourquoi l'étude de la trajectoire de la boule se ramène au cas où \(n\) et \(p\) n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Partie B

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note ( \(x ; y\) ) les coordonnées de \(A_{n}\) et ( \(x^{\prime} ; y^{\prime}\) ) les coordonnées de \(A_{n+1}\).

1. Montrer que \(\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right)=\varepsilon\) où \(\varepsilon \in\{-2 ; 0 ; 2\}\).
2. En déduire que la boule ne passera jamais par les points \(I(1 ; 0), G(x ; 0)\) ou \(H(0 ; x)\) où \(x\) est un entier naturel impair.

Partie C

Soit \(k\) le plus petit entier supérieur à 1 tel qu'il existe un entier \(l

Justifier que \(A_{k}\) est un des sommets du rectangle \(A B C D\).

En déduire que \(l=k-1\).

Partie D

Soit \(n\) et \(p\) deux entiers supérieurs ou égaux à 2 .
Le plan est pavé à l'aide de rectangles de dimensions \(n\) et \(p\) égales à celle du rectangle \(A B C D\). La trajectoire de la boule est ainsi obtenue à l'aide de symétries axiales successives, comme indiqué ci-contre dans le cas particulier d'un billard de dimensions 5 et 3 .

1. Exprimer en fonction de \(n\) et \(p\) les coordonnées du point \(E\) de la droite d'équation \(y=x\) associé à un rebond dans un coin de la table.
2. Démontrer que le segment \([A E]\) intersecte les côtés du pavage rectangle en \(n+\) points.
3. En déduire que la boule effectue \(n+p\) rebonds avant d'atteindre un des sommets du rectangle \(A B C D\).
   
4. Justifier que la boule rebondit au point de coordonnées ( \(0 ; 2\) ) (on pourra exploiter le résultat obtenu dans la partie B).
5. Montrer qu'un point à coordonnées entières sur deux des bords de la table est un point de rebond.