Exercice 1 — le retour de l'escargot

Sujet

Lors de la session précédente des olympiades, on étudiait le déplacement d'un escargot sur un ruban élastique. Ce dernier choisit cette année de parcourir l'une des façades vitrées et planes de l'actuelle tour Montparnasse.

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que \(2 \leq n \leq p\).

On suppose qu'il existe \(n\) bureaux de même largeur donnant sur chaque façade et chaque étage de la tour et que les \(p\) étages de la tour sont tous de même hauteur. La façade est modélisée par un rectangle quadrillé par \(n\) colonnes et \(p\) lignes et muni d'un repère orthogonal ( \(A ; \vec{u}, \vec{v}\) ) tel que \(\|\vec{u}\|=1 \mathrm{~m}\) et \(\|\vec{v}\|=3 \mathrm{~m}\).
L'escargot part de \(A\) pour atteindre le point \(B(n ; p)\) en s'imposant les conditions suivantes :

• il fait une courte pause arrivé à chaque point à coordonnées entières ;
• il ne se déplace entre deux d'entre eux qu'à l'aide d'une translation de vecteur choisi aléatoirement parmi \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{u}+\vec{v}\);
• il fait en sorte que la trace de son parcours ne traverse pas le segment \([A P]\), où \(P\) est de coordonnées ( \(n\); \(n\) ), et reste dans le demi-plan délimité par \([A P]\) contenant \(B\).

Partie A

On se place ici dans le cas particulier où \(n=4\) et \(p=8\).

1. Déterminer la longueur des trois parcours représentés cicontre.
2. Démontrer que la longueur maximale des parcours possibles est de 28 m et que leur longueur minimale est de \(12+4 \sqrt{10} \mathrm{~m}\).
3. Déterminer l'ensemble des distances possibles parcourues par l'escargot.

Partie B

Soit \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que \(2 \leq n \leq p\).
On note \(L\) la distance totale en mètres parcourue par l'escargot pour aller de \(A\) en \(B\).

1. Expliquer pourquoi il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que
   
   \(L=a+b \sqrt{10}\).
2. Exprimer les longueurs maximale et minimale des parcours en fonction de \(n\) et \(p\).
3. Démontrer que \(a+4 b=n+3 p\).

Partie C

Soit \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que \(2 \leq n \leq p\).
Soit \(x\) et \(y\) deux entiers tels que \(1 \leq x \leq n\) et \(1 \leq y \leq p-1\) et \(x \leq y\).
L'escargot part maintenant de \(A\) pour arriver en \(M(x ; y)\) par un parcours de longueur minimale, effectue une translation de vecteur \(\vec{v}\) puis rejoint \(B\) par un parcours de longueur minimale. On note \(L_{m}\) la longueur minimale d'un parcours joignant \(A\) et \(B\) et passant par \(M\).

1. a. Démontrer que \(L_{m}=3(p-n)+n \sqrt{10}\) lorsque le parcours se termine par au moins une translation de vecteur \(\vec{v}\).
   b. Exprimer \(L_{m}\) en fonction de \(n\) et \(p\) lorsque le parcours se termine par au moins une translation de vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\).