Exercice 2 — Faire une « bonne pièce » avec une fausse

Sujet

On dispose d'une pièce de monnaie truquée, c'est-à-dire que la probabilité d'apparition de pile (ou de face) n'est pas égale à \(\frac{1}{2}\), mais on désire néanmoins l'utiliser pour de réaliser un tirage «presque équiprobable » à deux issues dont les probabilités sont « proches » l'une de l'autre...

Soit un tirage à deux issues de probabilités respectives \(p\) et \(q\) avec \(q \geq p\).
Si \(10^{-2} \leq q-p<10^{-1}\), on dira que le tirage est presque équiprobable de degré 1 . Par exemple, si une pièce a une probabilité d'obtenir face égale à 0,52 et donc celle d'obtenir pile égale à 0,48 , la différence est de 0,04 . Or \(0,01 \leq 0,04<0,1\) et donc on dira que le tirage est presque équiprobable de degré 1 .
Si \(10^{-3} \leq q-p<10^{-2}\), on dira que le tirage est presque équiprobable de degré 2 .
Si \(k\) un entier naturel non nul, on dira que le tirage est presque équiprobable de degré \(k\), si l'écart \(q-p\) entre les probabilités de chacune des deux issues vérifie \(10^{-k-1} \leq q-p<10^{-k}\).

Partie A : Étude d'un premier cas particulier

On lance une fois une pièce pour laquelle la probabilité d'obtenir le côté « Pile » est \(p=0,49994\). Vérifier que ce tirage est presque équiprobable de degré 3 .

Partie B : Étude d'un second cas particulier

On suppose que la probabilité d'obtenir le côté « Pile» est \(p=0,4\).

1. Existe-t-il un entier naturel \(k\) non nul pour lequel le tirage est presque équiprobable de degré \(k\) ?
2. On lance deux fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « Pile » ? Deux « Face » ? Un nombre pair de «Pile»?
3. On lance trois fois la pièce et on compte le nombre de « Pile ». Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair de «Pile»?
4. En considérant la parité du nombre de piles obtenus, décrire en le justifiant un dispositif permettant de simuler, avec cette pièce truquée, un tirage à deux issues presque équiprobable de degré 2 .

Partie C : Cas général

La probabilité d'obtenir le côté « Pile » en lançant la pièce est maintenant un nombre \(p\) strictement compris entre 0 et 1. Pour un entier naturel \(i\) non nul, on note \(P_{i}\) la probabilité d'obtenir un nombre pair de « Pile» en lançant \(i\) fois la pièce.

1. Dans cette question on effectue deux lancers de la pièce truquée.
   a. Montrer que \(P_{2}-\frac{1}{2}=2\left(p-\frac{1}{2}\right)^{2}\).
   b. On suppose que \(p<\frac{1}{2}\). Ranger par ordre croissant les cinq nombres \(p, 1-p, P_{2}, 1-P_{2}, \frac{1}{2}\).
   c. Après avoir effectué les deux lancers, le nombre de piles sera pair ou bien impair. A quelle condition sur \(p\) obtient-on un tirage à deux issues presque équiprobable de degré 2 ?
2. Dans cette question on effectue \(\boldsymbol{n}\) lancers \((\boldsymbol{n} \geq 1)\)
   a. Pour tout nombre enter \(n\) supérieur ou égal à 2 , exprimer \(P_{n}\) en fonction de \(P_{n-1}\) et \(p\).
   b. Exprimer \(P_{n}-\frac{1}{2}\) en fonction \(\operatorname{de} P_{n-1}-\frac{1}{2}\) puis en fonction de \(p\) et .
   c. On souhaite réaliser un tirage à deux issues presque équiprobables de degré \(k\). Écrire un algorithme qui, en fonction des valeurs de \(p\) et \(k\) choisies, détermine le nombre minimal de lancers nécessaires pour obtenir un tirage presque équiprobable de degré \(k\)