Exercice 1 — Différence de deux carrés

Sujet

Rappels préliminaires

• un nombre entier pair est un entier qui s'écrit sous la forme \(2 k\), où \(k\) est un entier
• un nombre entier impair est un entier qui s'écrit sous la forme \(2 k+1\), où \(k\) est un entier
• un multiple de \(m\) est un entier qui s'écrit sous la forme \(m k\), où \(k\) est un entier

Partie A

On construit deux carrés de côtés entiers : un grand carré de côté \(x\) et un petit carré de côté \(y\), que l'on place à l'intérieur du plus grand.
On s'intéresse à l'aire de la partie hachurée, et en particulier aux valeurs que peut prendre cette aire.

1. Exprimer l'aire hachurée dans les cas particuliers suivants:
   \(x=6\) et \(y=3\) puis \(x=505\) et \(y=503\)
2. Déterminer un couple de valeurs \(x\) et \(y\) pour que l'aire hachurée soit égale à 3 .
3. Déterminer un couple de valeurs \(x\) et \(y\) pour que l'aire hachurée soit égale à 5 .
4. Déterminer deux couples de valeurs \(x\) et \(y\) pour que l'aire hachurée soit égale à
   
6. Peut-on trouver des valeurs pour \(x\) et \(y\) pour que l'aire hachurée soit égale à 6 ?

Partie B

Un entier naturel \(N\) sera dit décomposable en différence de deux carrés, s'il existe des entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(N=x^{2}-y^{2}\).

1. a. Soit \(k\) un entier naturel. Développer l'expression \((k+1)^{2}-k^{2}\)
   b. Donner une décomposition du nombre 2017en différence de deux carrés.
   c. Démontrer que tout entier naturel impair est décomposable en différence de deux carrés.
2. Dans cette question, \(N\) désigne un entier naturel pair.
   a. On suppose que \(N\) est décomposable en somme de deux carrés, donc que \(N=x^{2}-y^{2}\), où \(x\) et \(y\) désignent des entiers naturels. Montrer que \(N\) est un multiple de 4 .
   b. Réciproquement, on suppose que \(N\) est un multiple de 4 . Montrer que \(N\) est décomposable en différence de deux carrés.
3. Tous les nombres entiers naturels sont-ils décomposables en différence de deux carrés ?

Partie C

On cherche maintenant à déterminer, pour un entier \(N\) donné, l'ensemble de toutes ses décompositions.

1. Dans cette question, \(N\) désigne un entier naturel impair.
   \(\boldsymbol{a}\). On suppose que \(N\) est décomposable en différence de deux carrés, et on pose \(N=(k+d)^{2}-k^{2}\). Montrer qu'il existe un entier \(m\) tel que : \(N=m \times d\) et \(d \leqslant \sqrt{N}\).
   b. Réciproquement, on suppose qu'il existe deux entiers \(m\) et \(d\) tels que \(N=m \times d\) avec \(d \leqslant \sqrt{N}\). Montrer que \(N\) est décomposable en différence de deux carrés.
   c. En déduire toutes les décompositions des nombres 45 et 47 .
   d. Quels sont les nombres impairs admettant une unique décomposition ?
2. Dans cette question, \(N\) désigne un entier naturel multiple de \(\mathbf{4}\).
   a. Montrer que \(N=(k+d)^{2}-k^{2}\) si et seulement s'il existe deux entiers pairs \(m\) et \(d\) tels que \(N=m \times d\) et \(d \leqslant \sqrt{N}\).
   b. En déduire toutes les décompositions des nombres 44 et 240 .
   c. Quels sont les multiples de 4 admettant une unique décomposition ?